Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & -2 & -2 & 2 \\\\ 1 & 1 & -1 & 4 \\\\ -1 & -4 & -3 & -5 \\\\ 2 & -10 & -12 & k
\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear
e pede: determinar o valor de k de forma que o sistema tenha solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{cases} x - 2y - 2z = 2,\\[4pt] x + y - z = 4,\\[4pt] - x -4y -3z = -5,\\[4pt] 2x -10y -12z = k. \end{cases}]
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicando o porquê de forma didática): faremos eliminação por linhas (operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada) para chegar a uma forma triangular. A ideia-chave: o sistema tem solução se e somente se não aparecer uma linha do tipo
com c\neq 0 (isto corresponderia a uma equação impossível 0= c\neq0). Em termos de posto, queremos que o posto da matriz dos coeficientes seja igual ao posto da matriz aumentada. Vou aplicar operações de linha que preservam soluções (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo).
Passo 3
Começo usando a primeira linha como pivô para zerar as entradas da primeira coluna abaixo dela. A matriz inicial é
Da terceira linha: -3z = 1 \Rightarrow z = -\tfrac{1}{3}.
Da segunda linha: 3y + z = 2 \Rightarrow 3y = 2 - z = 2 - (-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{7}{3} \Rightarrow y = \tfrac{7}{9}.
Da primeira linha: x - 2y - 2z = 2 \Rightarrow x = 2 + 2y + 2z = 2 + 2\cdot\tfrac{7}{9} + 2\cdot(-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{26}{9}.
Logo existe solução única (nesse caso) quando k=2.