Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x-3 y-5 z=5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:

Passo 1

O enunciado dá o plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -2x-3y-5z=5\}
e pede uma equação paramétrica desse plano usando parâmetros s,t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes:
-2x-3y-5z=5
Os parâmetros disponíveis são s e t. A resposta deve ser uma forma paramétrica (x,y,z) em função de s e t.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): uma superfície plana pode ser escrita como um ponto particular P_0 da superfície somado a combinações lineares de dois vetores diretores independentes v e w:
(x,y,z)=P_0+s\,v+t\,w.
Aqui P_0 é qualquer ponto que satisfaça a equação do plano, e v,w são vetores que pertencem ao plano (ou seja, são ortogonais ao vetor normal do plano). O vetor normal n do plano é composto pelos coeficientes de x,y,z na equação: n=(-2,-3,-5). Para que um vetor v=(v_x,v_y,v_z) esteja no plano associado ao normal n, deve valer
n\cdot v = -2v_x-3v_y-5v_z = 0.
Vou encontrar primeiro um ponto particular P_0 e depois dois vetores v,w que satisfazem essa condição.

Passo 3

Escolher um ponto particular P_0. Um jeito fácil é fixar dois variáveis igual a zero e resolver a terceira. Tomando y=0 e z=0 na equação do plano:
-2x-3\cdot 0-5\cdot 0 = 5 \quad\Rightarrow\quad -2x=5 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{5}{2}.
Portanto um ponto do plano é
P_0=\left(-\tfrac{5}{2},0,0\right).
Isso significa que a posição de qualquer ponto do plano pode ser escrita como esse ponto mais combinações de vetores tangentes ao plano.

Passo 4

Encontrar vetores diretores v e w que satisfaçam a condição -2v_x-3v_y-5v_z=0. Uma maneira prática é escolher y e z como parâmetros livres (que serão justamente s e t) e resolver para x na equação homogênea associada ao plano:
-2x-3y-5z=0.
Colocando y=s e z=t (estes s,t representam vetores da parte homogênea) obtemos
-2x-3s-5t=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=3s+5t \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{3}{2}s-\tfrac{5}{2}t.
Assim os vetores da parte homogênea (os vetores diretores) são as colunas dos coeficientes de s e t:
v=\left(-\tfrac{3}{2},1,0\right),\qquad w=\left(-\tfrac{5}{2},0,1\right).
Verificação rápida (para ficar seguro): n\cdot v=-2(-\tfrac{3}{2})-3\cdot1-5\cdot0=3-3=0 e n\cdot w=-2(-\tfrac{5}{2})-3\cdot0-5\cdot1=5-5=0. Então ambos estão no plano.

Passo 5

Formar a equação paramétrica combinando P_0, v e w:
(x,y,z)=\left(-\tfrac{5}{2},0,0\right)+s\left(-\tfrac{3}{2},1,0\right)+t\left(-\tfrac{5}{2},0,1\right).
Escrevendo componente a componente (modo que você pode usar na prova):
x=-\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}s-\tfrac{5}{2}t,
y=s,
z=t.

Passo 6

Verificação final: substituindo essas expressões na equação do plano para checar que ela é satisfeita:
-2x-3y-5z = -2\Big(-\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}s-\tfrac{5}{2}t\Big)-3s-5t.
Calcule passo a passo:
-2\Big(-\tfrac{5}{2}\Big)=5,\quad -2\Big(-\tfrac{3}{2}s\Big)=3s,\quad -2\Big(-\tfrac{5}{2}t\Big)=5t,
então
-2x-3y-5z = 5+3s+5t-3s-5t=5.
Ficamos com 5, que é exatamente o lado direito da equação do plano, logo a parametrização está correta.

Passo 7

Dica prática: se quiser evitar frações na expressão final, pode reparametrizar (por exemplo trocar s\leftarrow 2s, t\leftarrow 2t), mas a forma acima é totalmente válida e direta para usar em provas. Força aí — dá para decorar o procedimento: achar um ponto particular + dois vetores ortogonais ao normal.

Resposta

(x,y,z)=\left(-\tfrac{5}{2},0,0\right)+s\left(-\tfrac{3}{2},1,0\right)+t\left(-\tfrac{5}{2},0,1\right)
ou equivalentemente
x=-\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}s-\tfrac{5}{2}t,\quad y=s,\quad z=t.

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