Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede uma equação paramétrica desse plano usando parâmetros
.
Informações relevantes:
Os parâmetros disponíveis são
e
. A resposta deve ser uma forma paramétrica
em função de
e
.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): uma superfície plana pode ser escrita como um ponto particular
da superfície somado a combinações lineares de dois vetores diretores independentes
e
:
Aqui
é qualquer ponto que satisfaça a equação do plano, e
são vetores que pertencem ao plano (ou seja, são ortogonais ao vetor normal do plano). O vetor normal
do plano é composto pelos coeficientes de
na equação:
. Para que um vetor
esteja no plano associado ao normal
, deve valer
Vou encontrar primeiro um ponto particular
e depois dois vetores
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Escolher um ponto particular
. Um jeito fácil é fixar dois variáveis igual a zero e resolver a terceira. Tomando
e
na equação do plano:
Portanto um ponto do plano é
Isso significa que a posição de qualquer ponto do plano pode ser escrita como esse ponto mais combinações de vetores tangentes ao plano.
Passo 4
Encontrar vetores diretores
e
que satisfaçam a condição
. Uma maneira prática é escolher
e
como parâmetros livres (que serão justamente
e
) e resolver para
na equação homogênea associada ao plano:
Colocando
e
(estes
representam vetores da parte homogênea) obtemos
Assim os vetores da parte homogênea (os vetores diretores) são as colunas dos coeficientes de
e
:
Verificação rápida (para ficar seguro):
e
. Então ambos estão no plano.
Passo 5
Formar a equação paramétrica combinando
,
e
:
Escrevendo componente a componente (modo que você pode usar na prova):
Passo 6
Verificação final: substituindo essas expressões na equação do plano para checar que ela é satisfeita:
Calcule passo a passo:
então
Ficamos com
, que é exatamente o lado direito da equação do plano, logo a parametrização está correta.
Passo 7
Dica prática: se quiser evitar frações na expressão final, pode reparametrizar (por exemplo trocar
,
), mas a forma acima é totalmente válida e direta para usar em provas. Força aí — dá para decorar o procedimento: achar um ponto particular + dois vetores ortogonais ao normal.
Resposta
ou equivalentemente