Decida se o vetor (1,2,3,0) \in \mathbb{R}^{4} é combinação linear dos vetores (2,2,2,1) e ( -1,0,1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se o vetor (1,2,3,0) \in \mathbb{R}^{4} pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2,2,2,1) e (-1,0,1,0).\n
Informações dadas:
  • Vetor alvo: v=(1,2,3,0).
  • Vetores candidatos: v_1=(2,2,2,1) e v_2=(-1,0,1,0).
  • A pergunta é: existem escalares reais a e b tais que a v_1 + b v_2 = v?\n
    Nada mais será resolvido neste passo — apenas identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

O que significa ser combinação linear (explicação didática):\n
Dizemos que v é combinação linear de v_1 e v_2 se existem números reais a e b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = v.
Aqui a e b são incógnitas que devemos encontrar. Cada vetor em \mathbb{R}^4 tem quatro componentes; vetores são iguais se e somente se todas as componentes correspondentes são iguais. Por isso podemos igualar componente a componente para obter um sistema de equações lineares nas incógnitas a e b.
Dica prática para prova: procure por componentes onde só um dos vetores tem entrada não nula — isso pode dar um valor direto para uma incógnita e revelar contradição rapidamente.

Passo 3

Escrevendo a equação da combinação linear e igualando componentes: queremos a e b tais que
a(2,2,2,1) + b(-1,0,1,0) = (1,2,3,0).
Somando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b = 1,\\[4pt] 2a + 0\cdot b = 2,\\[4pt] 2a + b = 3,\\[4pt] a + 0\cdot b = 0. \end{cases}
Expliquei cada linha: a primeira linha vem das primeiras componentes, a segunda das segundas, e assim por diante.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):\n
Da quarta equação temos diretamente
a = 0,
porque é a + 0\cdot b = 0. Isso já é uma informação imediata (é o tipo de coisa que a dica do passo anterior sugere procurar).\n
Agora substituímos a=0 nas outras equações para ver se existe b compatível.\n
Segunda equação com a=0:
2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2\cdot 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 0 = 2.
Isso é uma contradição evidente: não existe número b que conserte isso, porque a equação não envolve b. Portanto não há solução compatível com a=0.\n
Para reforçar (mostrando outro conflito), veja a primeira e a terceira equações com a=0:
  • Primeira: 2a - b = 1 -b = 1, então b = -1.
  • Terceira: 2a + b = 3 b = 3.
    Essas duas exigências para b também entram em contradição ( b não pode ser simultaneamente -1 e 3).\n
    Qualquer uma das contradições acima basta para concluir que o sistema é inconsistente — ou seja, não existem a,b reais que satisfaçam todas as quatro equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Interpretação final e intuição (curto reforço didático):\n
O que acontece aqui é que a quarta componente dos vetores força a=0, enquanto a segunda componente exige 2a=2, i.e. a=1. Essas duas exigências são incompatíveis, logo não existe combinação linear que satisfaça todas as quatro componentes simultaneamente.\n
Em linguagem simples de prova: a coleção \{v_1,v_2\} não gera (não spanea) o vetor v, porque o sistema para os coeficientes é inconsistente. Dica para prova rápida: sempre verifique componentes que isolam uma incógnita primeiro — elas frequentemente revelam a impossibilidade sem precisar resolver tudo.

Resposta

Não

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