Um conjunto de n massas está suspenso de modo a permanecer na mesma horizontal e sem entrar em contanto uma com a outra. A primeira massa é f m_{0}, a segunda f^{2} m_{0}, a terceira f^{3} m_{0} e assim até a última, que é f^{n} m_{0}. Sobre a primeira massa, incide uma partícula de massa m_{0} que se move com velocidade horizontal de módulo v_{0}. Esta produz uma sucessão de choques ao longo da linha de massas.
  • a) Considerando que todos os choques sejam perfeitamente elásticos, mostre que a última massa sai com velocidade igual
v_{n}=\left(\frac{2}{1+f}\right)^{n} v_{0} .
  • b) Mostre que se f=1 toda a energia é transferida para a última massa.

Passo 1

O enunciado descreve uma sequência de n massas em repouso, de massas f m_{0},f^{2}m_{0},\dots,f^{n}m_{0}, sobre as quais incide uma partícula de massa m_{0} com velocidade inicial v_{0}. Todos os choques são perfeitamente elásticos e ocorrem em cadeia. Vamos usar a fórmula de colisão elástica entre dois corpos, um de massa m (em movimento) e outro de massa M (em repouso), para obter a velocidade transferida em cada etapa.

Passo 2

Para uma colisão perfeitamente elástica de um corpo de massa m (velocidade inicial v) contra outro de massa M inicialmente em repouso, a velocidade v_{\text{alvo}} do corpo de massa M após o choque é
v_{\text{alvo}} \;=\;\frac{2\,m}{m+M}\;v.

Passo 3

Na primeira colisão, m=m_{0} e M=f\,m_{0}. Assim a velocidade v_{1} da primeira massa após o choque é
v_{1} =\frac{2\,m_{0}}{m_{0}+f\,m_{0}}\,v_{0} =\frac{2}{1+f}\,v_{0}.

Passo 4

Na colisão seguinte, a massa que se move vale m=f\,m_{0} e atinge a próxima de massa M=f^{2}m_{0}. Logo a velocidade v_{2} dessa segunda massa será
v_{2} =\frac{2\,f\,m_{0}}{f\,m_{0}+f^{2}m_{0}}\,v_{1} =\frac{2}{1+f}\,v_{1}.
Por simetria, em cada passo k temos
v_{k} =\frac{2}{1+f}\,v_{k-1}.

Passo 5

Iterando esse fator n vezes, obtemos
v_{n} =\Bigl(\tfrac{2}{1+f}\Bigr)^{n}v_{0}.

Passo 6

Para f=1 o fator \tfrac{2}{1+f} torna-se \tfrac{2}{2}=1, logo
v_{n}=v_{0}.
A energia cinética inicial é
\frac12\,m_{0}\,v_{0}^{2}
e a energia final da última massa é
\frac12\,(1\,m_{0})\,v_{n}^{2} =\frac12\,m_{0}\,v_{0}^{2},
mostrando que toda a energia foi transferida.

Resposta

a) \displaystyle v_{n}=\bigl(\tfrac{2}{1+f}\bigr)^{n}v_{0}.
b) Para f=1 tem-se v_{n}=v_{0} e, portanto, toda a energia cinética inicial fica na última massa.

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