Um conjunto de
massas está suspenso de modo a permanecer na mesma horizontal e sem entrar em contanto uma com a outra. A primeira massa é
, a segunda
, a terceira
e assim até a última, que é
. Sobre a primeira massa, incide uma partícula de massa
que se move com velocidade horizontal de módulo
. Esta produz uma sucessão de choques ao longo da linha de massas.
- a) Considerando que todos os choques sejam perfeitamente elásticos, mostre que a última massa sai com velocidade igual
- b) Mostre que se
toda a energia é transferida para a última massa.
Passo 1
O enunciado descreve uma sequência de
massas em repouso, de massas
, sobre as quais incide uma partícula de massa
com velocidade inicial
. Todos os choques são perfeitamente elásticos e ocorrem em cadeia. Vamos usar a fórmula de colisão elástica entre dois corpos, um de massa
(em movimento) e outro de massa
(em repouso), para obter a velocidade transferida em cada etapa.
Passo 2
Para uma colisão perfeitamente elástica de um corpo de massa
(velocidade inicial
) contra outro de massa
inicialmente em repouso, a velocidade
do corpo de massa
após o choque é
Passo 3
Na primeira colisão,
e
. Assim a velocidade
da primeira massa após o choque é
Passo 4
Na colisão seguinte, a massa que se move vale
e atinge a próxima de massa
. Logo a velocidade
dessa segunda massa será
Por simetria, em cada passo
temos
Passo 5
Iterando esse fator
vezes, obtemos
Passo 6
Para
o fator
torna-se
, logo
A energia cinética inicial é
e a energia final da última massa é
mostrando que toda a energia foi transferida.
Resposta
a)
b) Para tem-se
e, portanto, toda a energia cinética inicial fica na última massa.
b) Para