Considere um sistema composto por dois corpos extensos com massas
e
, cujos centros de massa estão localizados em
e
, respectivamente. O centro de massa do sistema completo é dado por
Esse belo resultado significa que, ao determinar o centro de massa de um sistema complicado, você pode tratar as suas partes como se fossem massa pontuais posicionadas em seus centros de massa separadamente - mesmo quando as partes componentes são elas próprias corpos extensos.
Com base nesse princípio, determine o centro de massa da letra “D”, que é composta por:
- Uma barra reta e uniforme de comprimento
, centrada na origem.
- Um semicírculo uniforme de raio
.
Calcule a posição do centro de massa desse sistema, considerando que ambos os corpos possuem a mesma densidade linear uniforme
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um “D” formado por duas distribuições lineares uniformes de densidade
:
– Uma barra reta de comprimento , centrada na origem e alinhada ao eixo
.
– Um semicírculo de raio , de espessura desprezível, cujo diâmetro coincide com essa barra e que se abre para a direita.
– Uma barra reta de comprimento
– Um semicírculo de raio
Para resolver, vamos tratar cada uma dessas partes como massa pontual localizada no respectivo centro de massa, e então usar
Passo 2
Calculemos as massas de cada parte. Sendo
a densidade linear uniforme:
– Massa da barra:
– Massa do semicírculo (arco):
Passo 3
Determine os centros de massa de cada corpo:
– A barra está simetricamente centrada na origem, logo
– O semicírculo é simétrico em relação ao eixo
, de centro de círculo na origem, e seu centro de massa está à direita. Para um arco de semicircunferência de raio
, a posição do centro de massa medida desde o centro da circunferência é
ao longo do eixo de simetria
. Assim
Passo 4
Aplique a fórmula do centro de massa composto:
No numerador só sobra
e no denominador
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