Considere um sistema composto por dois corpos extensos com massas M_{1} e M_{2}, cujos centros de massa estão localizados em \vec{R}_{1} e \vec{R}_{2}, respectivamente. O centro de massa do sistema completo é dado por
\vec{R}=\frac{M_{1} \vec{R}_{1}+M_{2} \vec{R}_{2}}{M_{1}+M_{2}}
Esse belo resultado significa que, ao determinar o centro de massa de um sistema complicado, você pode tratar as suas partes como se fossem massa pontuais posicionadas em seus centros de massa separadamente - mesmo quando as partes componentes são elas próprias corpos extensos.
Com base nesse princípio, determine o centro de massa da letra “D”, que é composta por:
  • Uma barra reta e uniforme de comprimento 2 a, centrada na origem.
  • Um semicírculo uniforme de raio a.
Calcule a posição do centro de massa desse sistema, considerando que ambos os corpos possuem a mesma densidade linear uniforme \lambda.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um “D” formado por duas distribuições lineares uniformes de densidade \lambda:
– Uma barra reta de comprimento 2a, centrada na origem e alinhada ao eixo y.
– Um semicírculo de raio a, de espessura desprezível, cujo diâmetro coincide com essa barra e que se abre para a direita.
Para resolver, vamos tratar cada uma dessas partes como massa pontual localizada no respectivo centro de massa, e então usar
\vec{R} = \frac{M_{\text{barra}}\vec{R}_{\text{barra}} + M_{\text{arco}}\vec{R}_{\text{arco}}}{M_{\text{barra}} + M_{\text{arco}}}.

Passo 2

Calculemos as massas de cada parte. Sendo \lambda a densidade linear uniforme:
– Massa da barra:
M_{\text{barra}} = \lambda \times (\text{comprimento}) = \lambda \cdot (2a).
– Massa do semicírculo (arco):
M_{\text{arco}} = \lambda \times (\text{comprimento do arco}) = \lambda \cdot (\pi a).

Passo 3

Determine os centros de massa de cada corpo:
– A barra está simetricamente centrada na origem, logo
\vec{R}_{\text{barra}} = (0,0).
– O semicírculo é simétrico em relação ao eixo x, de centro de círculo na origem, e seu centro de massa está à direita. Para um arco de semicircunferência de raio a, a posição do centro de massa medida desde o centro da circunferência é
\frac{2a}{\pi}
ao longo do eixo de simetria x. Assim
\vec{R}_{\text{arco}} = \Bigl(\tfrac{2a}{\pi},\,0\Bigr).

Passo 4

Aplique a fórmula do centro de massa composto:
\vec{R} = \frac{M_{\text{barra}}\vec{R}_{\text{barra}} + M_{\text{arco}}\vec{R}_{\text{arco}}} {M_{\text{barra}} + M_{\text{arco}}} = \frac{(\lambda\,2a)\,(0,0) + (\lambda\,\pi a)\,\bigl(\tfrac{2a}{\pi},0\bigr)} {\lambda\,2a + \lambda\,\pi a}.
No numerador só sobra
(\lambda\,\pi a)\,\bigl(\tfrac{2a}{\pi},0\bigr) = \bigl(2a^2\lambda,\,0\bigr),
e no denominador
\lambda a\,(2 + \pi).
Logo
\vec{R} = \Bigl(\frac{2a^2\lambda}{\lambda a(2+\pi)},\,0\Bigr) = \Bigl(\frac{2a}{2+\pi},\,0\Bigr).

Resposta

\boxed{\vec{R}=\Bigl(\frac{2a}{2+\pi},\,0\Bigr)}.

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