No conjunto
definamos a “adição” assim:
e a multiplicação da forma que já aprendemos, isto é, dado
Nestas condições
é ainda um espaço vetorial? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a operação de “adição” modificada
e a multiplicação escalar usual
Queremos verificar se, com essas operações,
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos o axioma da existência do elemento neutro aditivo: deve haver um vetor
tal que, para todo
,
Pelo lado esquerdo,
Para isso coincidir com
para todo
e todo
, precisamos de
-
para todo , o que força . -
para todo , o que é impossível a não ser que .
Como não existe
que satisfaça ambos, não há elemento neutro aditivo.
Passo 3
Em alternativa, poderíamos checar a distributividade da multiplicação escalar sobre a “adição”: deveria valer
ao passo que
Para
esses dois resultados não coincidem, mostrando a falha de um axioma fundamental.
Resposta
Não. Falha a existência do elemento neutro aditivo (e também a distributividade escalar), logo
com essas operações não é espaço vetorial.