No conjunto \mathbb{R}^{2} definamos a “adição” assim:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}, 0\right)
e a multiplicação da forma que já aprendemos, isto é, dado \alpha \in \mathbb{R}
\alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\alpha x_{1}, \alpha y_{1}\right) .
Nestas condições \mathbb{R}^{2} é ainda um espaço vetorial? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 com a operação de “adição” modificada
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (\,x_{1}x_{2},\,0)
e a multiplicação escalar usual
\alpha\,(x,y) = (\alpha x,\;\alpha y).
Queremos verificar se, com essas operações, \mathbb{R}^2 satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos o axioma da existência do elemento neutro aditivo: deve haver um vetor e=(e_{1},e_{2}) tal que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
(x,y)+(e_{1},e_{2}) = (x,y).
Pelo lado esquerdo,
(x,y)+(e_{1},e_{2}) = (\,x\,e_{1},\,0).
Para isso coincidir com (x,y) para todo x e todo y, precisamos de
  1. x\,e_{1} = x para todo x, o que força e_{1}=1.
  2. 0 = y para todo y, o que é impossível a não ser que y\equiv0.
Como não existe (e_{1},e_{2}) que satisfaça ambos, não há elemento neutro aditivo.

Passo 3

Em alternativa, poderíamos checar a distributividade da multiplicação escalar sobre a “adição”: deveria valer
\alpha\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr) =\alpha(x_{1}x_{2},0) =(\alpha x_{1}x_{2},0),
ao passo que
\alpha(x_{1},y_{1}) + \alpha(x_{2},y_{2}) =(\alpha x_{1},\alpha y_{1}) + (\alpha x_{2},\alpha y_{2}) =(\alpha x_{1}\cdot \alpha x_{2},\,0) =(\alpha^{2}x_{1}x_{2},0).
Para \alpha\neq0,1 esses dois resultados não coincidem, mostrando a falha de um axioma fundamental.

Resposta

Não. Falha a existência do elemento neutro aditivo (e também a distributividade escalar), logo \mathbb{R}^2 com essas operações não é espaço vetorial.

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