Sejam E e F espaços vetoriais sobre \mathbb{R}. Mostre que E \times F=\{(u, v) \mid u \in E e v \in F\} é um espaço vetorial com o seguinte par de operações: Dados \left(u_{1}, v_{1}\right),\left(u_{2}, v_{2}\right) \in E \times F \mathrm{e} \alpha \in \mathbb{R}, façamos
I) \left(u_{1}, v_{1}\right)+\left(u_{2}, v_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, v_{1}+v_{2}\right)
II) \alpha\left(u_{1}, v_{1}\right)=\left(\alpha u_{1}, \alpha v_{1}\right)

Passo 1

Estamos dados dois espaços vetoriais sobre \mathbb{R}, chamados E e F. Definimos o conjunto
E\times F = \{(u,v)\mid u\in E,\;v\in F\}
e duas operações em E\times F:
(u_1,v_1)+(u_2,v_2) = (\,u_1+u_2,\;v_1+v_2\,), \qquad \alpha\,(u,v) = (\alpha\,u,\;\alpha\,v).
Precisamos verificar que, com essas operações, E\times F satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro mostramos que as operações estão bem definidas e que E\times F é fechado em relação a elas.
Como E e F são espaços vetoriais, para quaisquer u_1,u_2\in E e v_1,v_2\in F temos u_1+u_2\in E e v_1+v_2\in F, logo
(u_1,v_1)+(u_2,v_2) = (u_1+u_2,\,v_1+v_2)\in E\times F.
De modo análogo, para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e (u,v)\in E\times F segue \alpha u\in E e \alpha v\in F, então
\alpha\,(u,v) = (\alpha u,\alpha v)\in E\times F.
Isso garante a clausura e que as operações são bem definidas.

Passo 3

Agora mostramos que (E\times F,+) forma um grupo abeliano.
Associatividade:
\bigl((u_1,v_1)+(u_2,v_2)\bigr)+(u_3,v_3) = (u_1+u_2,v_1+v_2)+(u_3,v_3) = \bigl((u_1+u_2)+u_3,\,(v_1+v_2)+v_3\bigr)
e, como (u_1+u_2)+u_3 = u_1+(u_2+u_3) em E (e idem em F), segue
= (u_1+ (u_2+u_3),\,v_1+(v_2+v_3)) = (u_1,v_1)+\bigl((u_2,v_2)+(u_3,v_3)\bigr).
Comutatividade:
(u_1,v_1)+(u_2,v_2) = (u_1+u_2,\,v_1+v_2) = (u_2+u_1,\,v_2+v_1) = (u_2,v_2)+(u_1,v_1).
Elemento neutro: se 0_E e 0_F são neutros de E e F, então
(u,v)+(0_E,0_F) = (u+0_E,\;v+0_F) = (u,v).
Inverso: para (u,v) o inverso é ( -u,\,-v), pois
(u,v)+(-u,-v) = (u-u,\;v-v) = (0_E,0_F).

Passo 4

Falta verificar os axiomas de multiplicação por escalar.
Distributividade em relação à soma de vetores:
\alpha\bigl((u_1,v_1)+(u_2,v_2)\bigr) = \alpha(u_1+u_2,\;v_1+v_2) = (\alpha(u_1+u_2),\;\alpha(v_1+v_2))
e, como \alpha(u_1+u_2)=\alpha u_1+\alpha u_2 em E (idem em F),
= (\alpha u_1+\alpha u_2,\;\alpha v_1+\alpha v_2) = (\alpha u_1,\alpha v_1)+(\alpha u_2,\alpha v_2) = \alpha(u_1,v_1)+\alpha(u_2,v_2).
Distributividade em relação à soma de escalares:
(\alpha+\beta)(u,v) = \bigl((\alpha+\beta)u,\;(\alpha+\beta)v\bigr) = (\alpha u+\beta u,\;\alpha v+\beta v) = (\alpha u,\alpha v)+(\beta u,\beta v) = \alpha(u,v)+\beta(u,v).
Compatibilidade de produtos escalares:
\alpha\bigl(\beta(u,v)\bigr) = \alpha(\beta u,\beta v) = (\alpha\beta u,\;\alpha\beta v) = ((\alpha\beta)u,(\alpha\beta)v) = (\alpha\beta)(u,v).
Escalar 1 age como identidade:
1\,(u,v) = (1\,u,1\,v) = (u,v).

Resposta

O conjunto E\times F, com a soma e multiplicação por escalar definidas em cada componente, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Portanto, E\times F é um espaço vetorial.

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