Sejam
e
espaços vetoriais sobre
. Mostre que
e
é um espaço vetorial com o seguinte par de operações: Dados
, façamos
I)
II)
I)
II)
Passo 1
Estamos dados dois espaços vetoriais sobre
, chamados
e
. Definimos o conjunto
e duas operações em
:
Precisamos verificar que, com essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Primeiro mostramos que as operações estão bem definidas e que
é fechado em relação a elas.
Como e
são espaços vetoriais, para quaisquer
e
temos
e
, logo
Como
De modo análogo, para qualquer
e
segue
e
, então
Isso garante a clausura e que as operações são bem definidas.
Passo 3
Agora mostramos que
forma um grupo abeliano.
Associatividade:
e, como
em
(e idem em
), segue
Comutatividade:
Elemento neutro: se
e
são neutros de
e
, então
Inverso: para
o inverso é
, pois
Passo 4
Falta verificar os axiomas de multiplicação por escalar.
Distributividade em relação à soma de vetores:
e, como
em
(idem em
),
Distributividade em relação à soma de escalares:
Compatibilidade de produtos escalares:
Escalar 1 age como identidade:
Resposta
O conjunto
, com a soma e multiplicação por escalar definidas em cada componente, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto,
é um espaço vetorial.