Sejam u, v vetores não-nulos do espaço vetorial E. Prove que v é multiplo u se e somente u é multiplo de v.
(OBSERVAÇÃO:Dizemos que um vetor u é multiplo de um vetor v se existe \alpha \in \mathbb{R} tal que u=\alpha v ).

Passo 1

Resumindo, temos dois vetores não-nulos \,u,v\in E e queremos provar que
v\text{ é múltiplo de }u\quad\Longleftrightarrow\quad u\text{ é múltiplo de }v.éúéú
O conteúdo usado será definição de múltiplo escalar e o fato de que, em \mathbb{R}, todo escalar não-nulo tem inverso.

Passo 2

Suponha que v seja múltiplo de u. Por definição, existe \alpha\in\mathbb{R} tal que
v=\alpha\,u.
Como u\neq0 e v\neq0, necessariamente \alpha\neq0. Logo, podemos definir \beta=\tfrac1\alpha e obtemos
u=\beta\,v,
isto é, u é múltiplo de v.

Passo 3

Reciprocamente, suponha que u seja múltiplo de v. Então existe \beta\in\mathbb{R} com
u=\beta\,v.
Novamente, u\neq0 e v\neq0 implicam \beta\neq0. Tomando \alpha=\tfrac1\beta vemos que
v=\alpha\,u,
logo v é múltiplo de u.

Resposta

Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que v é múltiplo de u se e somente se u é múltiplo de v.

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