Sejam
vetores não-nulos do espaço vetorial
. Prove que
é multiplo
se e somente
é multiplo de
.
(OBSERVAÇÃO:Dizemos que um vetor
é multiplo de um vetor
se existe
tal que
).
(OBSERVAÇÃO:Dizemos que um vetor
Passo 1
Resumindo, temos dois vetores não-nulos
e queremos provar que
O conteúdo usado será definição de múltiplo escalar e o fato de que, em
, todo escalar não-nulo tem inverso.
Passo 2
Suponha que
seja múltiplo de
. Por definição, existe
tal que
Como
e
, necessariamente
. Logo, podemos definir
e obtemos
isto é,
é múltiplo de
.
Passo 3
Reciprocamente, suponha que
seja múltiplo de
. Então existe
com
Novamente,
e
implicam
. Tomando
vemos que
logo
é múltiplo de
.
Resposta
Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que
é múltiplo de
se e somente se
é múltiplo de
.