O conjunto
, com as operações de adição e multiplicação, definidas respectivamente por
-
-
não é um espaço vetorial sobre
. Por quê?
não é um espaço vetorial sobre
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e a multiplicação por escalar
Para ser espaço vetorial sobre
, todas as oito propriedades (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso, compatibilidade da multiplicação, existência do escalar unitário, e as duas distributividades) devem valer. Vamos ver que a distributividade
falha.
Passo 2
Tomemos um vetor genérico
e dois escalares quaisquer
. Calculemos o membro esquerdo da distributividade:
Passo 3
Agora calculemos o membro direito:
Passo 4
Comparando componente a componente vemos que
Estas são iguais só se
, ou seja
. Para vetores com
a igualdade não vale, violando a distributividade sobre a soma de escalares.
Resposta
Não é espaço vetorial porque falha a propriedade
já que as segundas coordenadas de cada membro não coincidem em geral.