O conjunto
\mathbb{R}^{2}=\{(x, y) ; x, y \in \mathbb{R}\}, com as operações de adição e multiplicação, definidas respectivamente por
  • (u, v) \longmapsto u+v \Leftrightarrow\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)
  • (\alpha, v) \in \mathbb{R} \times V \longmapsto \alpha v \Leftrightarrow \alpha(x, y)=(\alpha x, y)
    não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Por quê?

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 a adição usual
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e a multiplicação por escalar
\alpha(x,y)=(\alpha x,\;y).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, todas as oito propriedades (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso, compatibilidade da multiplicação, existência do escalar unitário, e as duas distributividades) devem valer. Vamos ver que a distributividade
(\alpha+\beta)\,v = \alpha v + \beta v
falha.

Passo 2

Tomemos um vetor genérico v=(x,y)\in V e dois escalares quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Calculemos o membro esquerdo da distributividade:
(\alpha+\beta)\,v = (\alpha+\beta)(x,y) = \bigl((\alpha+\beta)x,\;y\bigr).

Passo 3

Agora calculemos o membro direito:
\alpha v + \beta v = (\alpha x,y) + (\beta x,y) = (\alpha x + \beta x,\;y + y) = \bigl((\alpha+\beta)x,\;2y\bigr).

Passo 4

Comparando componente a componente vemos que
(\alpha+\beta)\,v = \bigl((\alpha+\beta)x,\;y\bigr) \quad\text{e}\quad \alpha v + \beta v = \bigl((\alpha+\beta)x,\;2y\bigr).
Estas são iguais só se y=2y, ou seja y=0. Para vetores com y\neq 0 a igualdade não vale, violando a distributividade sobre a soma de escalares.

Resposta

Não é espaço vetorial porque falha a propriedade
(\alpha+\beta)\,v = \alpha v + \beta v,
já que as segundas coordenadas de cada membro não coincidem em geral.

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