Questão 3. Qual a equação da esfera de centro C(3,-6,7) e tangente ao plano x O y ?
\square x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-14 z-45=0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-14 z+85=0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-14
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-14 z-58=0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-14 z+58=0 x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+12 y-1

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de centro C(3,-6,7) tangente ao plano xOy. Vamos usar o conceito de distância ponto–plano e a forma padrão da equação de uma esfera.

Passo 2

O plano xOy é dado por \{z=0\}. A distância do centro C(3,-6,7) a esse plano é
d = \bigl|7 - 0\bigr| = 7.
Como a esfera é tangente ao plano, o raio r da esfera é r = d = 7.

Passo 3

A forma padrão da esfera de centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
Substituindo (x_0,y_0,z_0) = (3,-6,7) e r = 7, obtemos
(x-3)^2 + (y+6)^2 + (z-7)^2 = 49.

Passo 4

Expandindo e agrupando termos:
(x-3)^2 + (y+6)^2 + (z-7)^2 - 49 = 0
x^2 - 6x +9 \;+\; y^2 +12y +36 \;+\; z^2 -14z +49 \;-\;49 = 0
\Longrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 12y - 14z + 45 = 0.

Resposta

x^2 + y^2 + z^2 \;-\; 6x \;+\; 12y \;-\; 14z \;+\; 45 = 0.

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