Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo de superfície quádricas dada por
e esboçá-la. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas: vamos reescrever em forma padrão, analisar os sinais dos coeficientes e estudar secções planas.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma padrão
Como há dois termos positivos e um negativo igual a 1, trata-se de um hiperboloide de uma folha. O eixo principal da superfície é o eixo associado ao termo com sinal negativo, neste caso o eixo
.
Passo 3
Analisamos agora algumas secções planas para entender a geometria:
Para
,
que é uma elipse de semi-eixos
e
; cresce conforme
aumenta, provando que a superfície se alarga para valores maiores de
.
Para
,
é uma hipérbole no plano
.
Para
,
é uma hipérbole no plano
.
Essas secções elípticas horizontais e hiperbólicas verticais confirmam a forma de hiperboloide de uma folha.
Resposta
A superfície é um hiperboloide de uma folha com eixo principal ao longo de
. O esboço mostra, no plano
, a elipse
, que se expande em elipses conforme
cresce, e possui hipérboles em cortes verticais pelos planos
e
.