Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(d) 4 x^{2}+y^{2}-4 z^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de superfície quádricas dada por
4x^{2} + y^{2} - 4z^{2} = 4
e esboçá-la. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas: vamos reescrever em forma padrão, analisar os sinais dos coeficientes e estudar secções planas.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma padrão
\frac{x^{2}}{1} \;+\;\frac{y^{2}}{4}\;-\;\frac{z^{2}}{1} \;=\;1.
Como há dois termos positivos e um negativo igual a 1, trata-se de um hiperboloide de uma folha. O eixo principal da superfície é o eixo associado ao termo com sinal negativo, neste caso o eixo z.

Passo 3

Analisamos agora algumas secções planas para entender a geometria:
Para z = k,
\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{4} = 1 + k^{2},
que é uma elipse de semi-eixos \sqrt{1+k^{2}} e 2\sqrt{1+k^{2}}; cresce conforme |k| aumenta, provando que a superfície se alarga para valores maiores de |z|.
Para y = 0,
\frac{x^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{1} = 1,
é uma hipérbole no plano xz.
Para x = 0,
\frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{1} = 1,
é uma hipérbole no plano yz.
Essas secções elípticas horizontais e hiperbólicas verticais confirmam a forma de hiperboloide de uma folha.

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha com eixo principal ao longo de z. O esboço mostra, no plano z=0, a elipse \tfrac{x^{2}}{1}+\tfrac{y^{2}}{4}=1, que se expande em elipses conforme |z| cresce, e possui hipérboles em cortes verticais pelos planos y=0 e x=0.

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