Questão 3.2
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço
.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e nos dá um subespaço
definido por duas equações lineares. Aqui está o que precisamos responder e as informações dadas:
- (a) Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e o que é linearmente dependentes (l.d.).
- (b) Determinar uma base
de e a dimensão de . - (c) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal
de . - (d) Determinar a matriz de mudança de base da base
para a base .
Informação dada sobre
:
Passo 2
Definições (parte (a)) — explicação didática e simples:
- Um conjunto de vetores
é chamado de linearmente independentes (l.i.) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial; isto é, se
implica que
. Intuição: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo simples:
e
em
são l.i.
- Um conjunto é linearmente dependente (l.d.) se existe uma combinação linear não trivial que dá zero; isto é, existem escalares, nem todos nulos, tais que
Intuição: pelo menos um vetor é redundante, pode ser escrito como combinação dos outros. Exemplo:
em
são l.d. porque
.
Passo 3
Parametrização de
e obtenção de geradores (início da parte (b)) — explicação passo a passo:
As equações que definem
são
e
Tomamos variáveis livres para parametrizar: deixe
e
, com
. Da primeira equação obtemos
e da segunda temos
.
Portanto, um vetor genérico
é
Escrevendo como combinação linear dos parâmetros:
Logo
. Esses dois vetores geram
.
Passo 4
Verificar que os geradores formam uma base e encontrar a dimensão (continuação da parte (b)) — explicação detalhada:
Os vetores escolhidos são
Para ver se são linearmente independentes, suponha que exista
tal que
Isto é,
Comparando componentes:
- 1ª componente:
. - 2ª componente:
. Com segue .
Assim
, logo
é linearmente independente. Como geram
e são dois, concluímos que
é uma base de
e que
Portanto uma base conveniente é
com
e
definidos acima.
Passo 5
Apresentação e explicação do método de Gram–Schmidt (início da parte (c)) — vamos aprender o jeito sistemático:
Objetivo do método de Gram–Schmidt: transformar uma base qualquer
de um subespaço em uma base ortogonal
do mesmo subespaço, mantendo o span igual. Fórmulas (produto escalar padrão em
): definimos iterativamente
e em geral
Aqui
é o produto escalar padrão:
. Após aplicar, os vetores
são mutuamente ortogonais. Podemos deixar a base ortogonal ou normalizá-la para obter uma base ortonormal.
Passo 6
Aplicando Gram–Schmidt aos vetores
e cálculo explícito (continuação da parte (c)):
Temos
Passo 1 do GS:
Calculemos
e
:
Logo a projeção de
sobre
é
Então
Para simplificar os números e obter vetores com inteiros, podemos multiplicar
por
(escala não afeta ortogonalidade). Definimos
Verificação rápida da ortogonalidade:
Portanto
é uma base ortogonal de
.
Observação: poderíamos também normalizar cada
para obter uma base ortonormal, mas a questão pediu base ortogonal, então manter inteiros deixa tudo mais simples na prova.
Passo 7
Determinação da matriz de mudança de base da base
para a base
(parte (d)) — escolha de convenção e cálculo passo a passo:
Primeiro explico a convenção que vou usar (muito comum): a matriz de mudança de base
da base
para a base
é aquela que transforma coordenadas de um vetor
em relação à base
para coordenadas em relação à base
; ou seja,
Com essa convenção, as colunas de
são as coordenadas, em
, dos vetores da base
. Então precisamos escrever
e
(os vetores de
) como combinações lineares dos vetores de
.
Lembrando as relações já encontradas:
Agora expressamos cada
em função de
.
- Para
: como , temos
ou seja
- Para
: queremos . Usando e , escrevemos
Comparando com
obtemos o sistema
Daí
e
. Assim
Portanto, a matriz
que satisfaz
tem como colunas
e
:
(Verificação rápida: se você aplicar
ao vetor de coordenadas
, obtém coordenadas em
.)]
Resposta
(a) Um conjunto
é linearmente independente se a única solução de
é
. É linearmente dependente se existe solução não trivial (algum
).\n
(b) ,
.\n
(c) Uma base ortogonal é .\n
(d) Usando a convenção , a matriz de mudança de base é
(b)
(c) Uma base ortogonal é
(d) Usando a convenção