Questão 3.2
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=
\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x-y+z=0 e z-t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá um subespaço W\subset\mathbb{R}^4 definido por duas equações lineares. Aqui está o que precisamos responder e as informações dadas:
  • (a) Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e o que é linearmente dependentes (l.d.).
  • (b) Determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
  • (c) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \beta de W.
  • (d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Informação dada sobre W:
W=\left\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x-y+z=0 \text{ e } z-t=0\right\}.

Passo 2

Definições (parte (a)) — explicação didática e simples:
  • Um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é chamado de linearmente independentes (l.i.) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial; isto é, se
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
implica que c_1=c_2=\cdots=c_k=0. Intuição: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo simples: (1,0) e (0,1) em \mathbb{R}^2 são l.i.
  • Um conjunto é linearmente dependente (l.d.) se existe uma combinação linear não trivial que dá zero; isto é, existem escalares, nem todos nulos, tais que
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0.
Intuição: pelo menos um vetor é redundante, pode ser escrito como combinação dos outros. Exemplo: (1,0),(2,0) em \mathbb{R}^2 são l.d. porque (2,0) - 2(1,0)=0.

Passo 3

Parametrização de W e obtenção de geradores (início da parte (b)) — explicação passo a passo:
As equações que definem W são
2x - y + z = 0
e
z - t = 0 \quad\text{(ou seja, }t=z\text{).}
Tomamos variáveis livres para parametrizar: deixe \;x=s\; e \;z=u\;, com s,u\in\mathbb{R}. Da primeira equação obtemos
y = 2x + z = 2s + u,
e da segunda temos t = z = u.
Portanto, um vetor genérico v\in W é
v=(x,y,z,t)=(s,\;2s+u,\;u,\;u).
Escrevendo como combinação linear dos parâmetros:
v = s(1,2,0,0) + u(0,1,1,1).
Logo W=\operatorname{span}\{(1,2,0,0),\,(0,1,1,1)\}. Esses dois vetores geram W.

Passo 4

Verificar que os geradores formam uma base e encontrar a dimensão (continuação da parte (b)) — explicação detalhada:
Os vetores escolhidos são
v_1=(1,2,0,0),\qquad v_2=(0,1,1,1).
Para ver se são linearmente independentes, suponha que exista a,b\in\mathbb{R} tal que
a v_1 + b v_2 = 0.
Isto é,
a(1,2,0,0) + b(0,1,1,1) = (0,0,0,0).
Comparando componentes:
  • 1ª componente: a = 0.
  • 2ª componente: 2a + b = 0. Com a=0 segue b=0.
Assim a=b=0, logo \{v_1,v_2\} é linearmente independente. Como geram W e são dois, concluímos que \{v_1,v_2\} é uma base de W e que
\dim W = 2.
Portanto uma base conveniente é \alpha=\{v_1,v_2\} com v_1 e v_2 definidos acima.

Passo 5

Apresentação e explicação do método de Gram–Schmidt (início da parte (c)) — vamos aprender o jeito sistemático:
Objetivo do método de Gram–Schmidt: transformar uma base qualquer \{v_1,\dots,v_k\} de um subespaço em uma base ortogonal \{u_1,\dots,u_k\} do mesmo subespaço, mantendo o span igual. Fórmulas (produto escalar padrão em \mathbb{R}^n): definimos iterativamente
u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2,
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1,
e em geral
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}\,u_j.
Aqui \langle a,b\rangle é o produto escalar padrão: \langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots. Após aplicar, os vetores u_i são mutuamente ortogonais. Podemos deixar a base ortogonal ou normalizá-la para obter uma base ortonormal.

Passo 6

Aplicando Gram–Schmidt aos vetores \alpha=\{v_1,v_2\} e cálculo explícito (continuação da parte (c)):
Temos
v_1=(1,2,0,0),\qquad v_2=(0,1,1,1).
Passo 1 do GS:
u_1=v_1=(1,2,0,0).
Calculemos \langle v_2,u_1\rangle e \langle u_1,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot0 +1\cdot0 = 2,
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2 + 2^2 + 0^2 + 0^2 = 1+4=5.
Logo a projeção de v_2 sobre u_1 é
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{2}{5}\,u_1 = \frac{2}{5}(1,2,0,0)=\left(\tfrac{2}{5},\tfrac{4}{5},0,0\right).
Então
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \left(0,1,1,1\right) - \left(\tfrac{2}{5},\tfrac{4}{5},0,0\right) = \left(-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},1,1\right).
Para simplificar os números e obter vetores com inteiros, podemos multiplicar u_2 por 5 (escala não afeta ortogonalidade). Definimos
w_1 := u_1 = (1,2,0,0),
w_2 := 5u_2 = (-2,1,5,5).
Verificação rápida da ortogonalidade:
\langle w_1,w_2\rangle = 1\cdot(-2) + 2\cdot1 + 0\cdot5 + 0\cdot5 = -2 + 2 = 0.
Portanto \beta=\{w_1,w_2\} é uma base ortogonal de W.
Observação: poderíamos também normalizar cada w_i para obter uma base ortonormal, mas a questão pediu base ortogonal, então manter inteiros deixa tudo mais simples na prova.

Passo 7

Determinação da matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta (parte (d)) — escolha de convenção e cálculo passo a passo:
Primeiro explico a convenção que vou usar (muito comum): a matriz de mudança de base P da base \alpha para a base \beta é aquela que transforma coordenadas de um vetor v em relação à base \alpha para coordenadas em relação à base \beta; ou seja,
[v]_{\beta} = P\, [v]_{\alpha}.
Com essa convenção, as colunas de P são as coordenadas, em \beta, dos vetores da base \alpha. Então precisamos escrever v_1 e v_2 (os vetores de \alpha) como combinações lineares dos vetores de \beta.
Lembrando as relações já encontradas:
w_1 = v_1,
w_2 = -2 v_1 + 5 v_2 \quad\text{(porque }w_2 = 5u_2 = 5v_2 - 2v_1\text{)}.
Agora expressamos cada v_i em função de w_1,w_2.
  • Para v_1: como w_1=v_1, temos
v_1 = 1\cdot w_1 + 0\cdot w_2,
ou seja [v_1]_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para v_2: queremos v_2 = a w_1 + b w_2. Usando w_2 = -2v_1 + 5v_2 e w_1=v_1, escrevemos
v_2 = a v_1 + b(-2v_1 + 5v_2) = (a-2b)v_1 + 5b v_2.
Comparando com v_2 = 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 obtemos o sistema
a - 2b = 0,\qquad 5b = 1.
Daí b=\tfrac{1}{5} e a=\tfrac{2}{5}. Assim
[v_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{5}\\[4pt]\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Portanto, a matriz P que satisfaz [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha} tem como colunas [v_1]_{\beta} e [v_2]_{\beta}:
P = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{2}{5} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
(Verificação rápida: se você aplicar P ao vetor de coordenadas [a,b]_{\alpha}, obtém coordenadas em \beta.)]

Resposta

(a) Um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de c_1 v_1+\cdots+c_k v_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0. É linearmente dependente se existe solução não trivial (algum c_i\neq0).\n
(b) \alpha=\{(1,2,0,0),\;(0,1,1,1)\}, \dim W=2.\n
(c) Uma base ortogonal é \beta=\{(1,2,0,0),\;(-2,1,5,5)\}.\n
(d) Usando a convenção [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}, a matriz de mudança de base é
P=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{2}{5}\\[4pt]0 & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.]

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