Questão 3.3
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. e \left.y+t=0\right\} de \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
a) Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e o que é linearmente dependentes.
b) Para o subespaço W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-z=0\\ \text{e}\\ y+t=0\}, determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
c) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \beta de W.
d) Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.
As informações fornecidas que vamos usar: as duas equações que definem W, isto é x-z=0 e y+t=0. Não há mais dados exteriores.

Passo 2

Definição de conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) — explicação didática passo a passo:
  • Seja um conjunto finito de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um espaço vetorial. Dizemos que eles são linearmente independentes se a única solução do sistema de equações obtido pela combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
  • Intuição: isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; nenhum é “redundante”.
Definição de conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.) — explicação:
  • O conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente dependente se existem escalares c_1,\dots,c_k, não todos zero, tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0.
  • Intuição: existe pelo menos um vetor que é combinação linear dos outros, ou seja há redundância.

Passo 3

Parametrização do subespaço W usando as equações dadas — passo a passo:
  • A condição x-z=0 x=z.
  • A condição y+t=0 y=-t.
Tome parâmetros s,t\in\mathbb{R} e escreva z=s e use t como está. Então um vetor genérico v\in W é
v=(x,y,z,t)=(z,-t,z,t)=(s,-t,s,t).
Separe em combinação linear dos parâmetros:
v = s\,(1,0,1,0) + t\,(0,-1,0,1).
Logo os vetores candidatos a geradores são
v_1=(1,0,1,0),\qquad v_2=(0,-1,0,1).

Passo 4

Provar que [\alpha={v_1,v_2}) é uma base de W e determinar a dimensão — passo a passo:
  • Primeiro mostramos que \alpha gera W: já expressamos um vetor genérico v\in W como combinação v=s v_1 + t v_2, logo \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=W.
  • Agora verificamos independência linear. Suponha que existam c_1,c_2\in\mathbb{R} tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
c_1(1,0,1,0) + c_2(0,-1,0,1) = (0,0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 = 0 & \text{(coordenada 1)}\\[4pt] - c_2 = 0 & \text{(coordenada 2)}\\[4pt] c_1 = 0 & \text{(coordenada 3)}\\[4pt] c_2 = 0 & \text{(coordenada 4)} \end{cases}
Da coordenada 1 segue c_1=0\]; da coordenada 2 segue \(c_2=0. Portanto c_1=c_2=0 é a única solução, então v_1 e v_2 são linearmente independentes.
  • Conclusão: \alpha=\{v_1,v_2\} é uma base de W. Assim a dimensão de W é
\dim W = 2.]

Passo 5

Apresentação didática do método de Gram–Schmidt (fórmula e significado):
  • Objetivo do método: a partir de uma base qualquer \{u_1,\dots,u_k\} produzir uma base ortogonal \{w_1,\dots,w_k\} do mesmo subespaço, isto é w_i\cdot w_j=0 para i\neq j, onde \cdot é o produto interno padrão (produto escalar).
  • Fórmulas do processo (passo a passo):
    1. Defina w_1 = u_1.
    2. Para j\ge2 defina
    w_j = u_j - \sum_{i=1}^{j-1} \operatorname{proj}_{w_i}(u_j)
    onde a projeção de u sobre w é
    \operatorname{proj}_{w}(u)=\frac{u\cdot w}{w\cdot w}\,w.
  • Aqui u\cdot w é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4, que se calcula somando os produtos das coordenadas correspondentes.
  • Observação prática: se em algum passo u_j já for ortogonal a todos os w_i anteriores, então todas as projeções são zero e w_j=u_j.

Passo 6

Aplicando Gram–Schmidt aos vetores \alpha=\{v_1,v_2\} passo a passo:
  • Escolha u_1=v_1 e u_2=v_2. Começamos com
w_1 = u_1 = v_1 = (1,0,1,0).
  • Calculamos o produto interno necessário:
w_1\cdot w_1 = (1)^2+0^2+(1)^2+0^2 = 2.
  • Agora verificamos a projeção de u_2 sobre w_1. Primeiro calcule u_2\cdot w_1:
u_2\cdot w_1 = (0)\cdot(1) + (-1)\cdot(0) + (0)\cdot(1) + (1)\cdot(0) = 0.
Como u_2\cdot w_1 = 0, a projeção é
\operatorname{proj}_{w_1}(u_2)=\frac{u_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1}\,w_1 = \frac{0}{2}\,w_1 = 0.
  • Portanto
w_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{w_1}(u_2) = u_2 - 0 = u_2 = v_2 = (0,-1,0,1).
  • Conclusão: os vetores já eram ortogonais entre si; assim uma base ortogonal é
\beta=\{w_1,w_2\}=\{(1,0,1,0),\\ (0,-1,0,1)\}.
  • Verificação rápida da ortogonalidade:
w_1\cdot w_2 = (1)\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Observação final: se quisermos uma base ortonormal, bastaria dividir cada w_i pela sua norma \|w_i\|=\sqrt{w_i\cdot w_i}, mas a questão pediu uma base ortogonal, então não é necessário normalizar.

Passo 7

Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta — explicação e cálculo:
  • Definição prática: a matriz de mudança de base P_{\alpha\to\beta} é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da nova base \beta escritas em termos da base antiga \alpha.
  • Aqui temos \alpha=\{v_1,v_2\} e \beta=\{w_1,w_2\} com
w_1 = v_1,\qquad w_2 = v_2.
  • Escrever cada w_j como combinação linear dos vetores de \alpha:
w_1 = 1\cdot v_1 + 0\cdot v_2,\qquad w_2 = 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
  • Assim as coordenadas coluna de w_1 em \alpha são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e de w_2 são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Portanto a matriz de mudança de base de \alpha para \beta é a matriz identidade de ordem 2:
P_{\alpha\to\beta} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Conjunto linearmente independente: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0
é c_1=\cdots=c_k=0.
Conjunto linearmente dependente: existe uma combinação linear não-trivial
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0
com alguns c_i\neq 0.
(b) \alpha=\{(1,0,1,0),\\ (0,-1,0,1)\}. \dim W=2.
(c) \beta=\{(1,0,1,0),\\ (0,-1,0,1)\} (os vetores já são ortogonais).
(d) P_{\alpha\to\beta}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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