Questão 3.3
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-z=0\right. e \left.y+t=0\right\} de \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
a) Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e o que é linearmente dependentes.
b) Para o subespaço W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-z=0\\ \text{e}\\ y+t=0\}, determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
c) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \beta de W.
d) Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.
As informações fornecidas que vamos usar: as duas equações que definem W, isto é x-z=0 e y+t=0. Não há mais dados exteriores.
Passo 2
Definição de conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) — explicação didática passo a passo:
Seja um conjunto finito de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um espaço vetorial. Dizemos que eles são linearmente independentes se a única solução do sistema de equações obtido pela combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
Intuição: isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; nenhum é “redundante”.
Definição de conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.) — explicação:
O conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente dependente se existem escalares c_1,\dots,c_k, não todos zero, tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0.
Intuição: existe pelo menos um vetor que é combinação linear dos outros, ou seja há redundância.
Passo 3
Parametrização do subespaço W usando as equações dadas — passo a passo:
A condição x-z=0 dá x=z.
A condição y+t=0 dá y=-t.
Tome parâmetros s,t\in\mathbb{R} e escreva z=s e use t como está. Então um vetor genérico v\in W é
v=(x,y,z,t)=(z,-t,z,t)=(s,-t,s,t).
Separe em combinação linear dos parâmetros:
v = s\,(1,0,1,0) + t\,(0,-1,0,1).
Logo os vetores candidatos a geradores são
v_1=(1,0,1,0),\qquad v_2=(0,-1,0,1).
Passo 4
Provar que [\alpha={v_1,v_2}) é uma base de W e determinar a dimensão — passo a passo:
Primeiro mostramos que \alpha gera W: já expressamos um vetor genérico v\in W como combinação v=s v_1 + t v_2, logo \operatorname{span}\{v_1,v_2\}=W.
Agora verificamos independência linear. Suponha que existam c_1,c_2\in\mathbb{R} tais que
Da coordenada 1 segue c_1=0\]; da coordenada 2 segue \(c_2=0. Portanto c_1=c_2=0 é a única solução, então v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Conclusão: \alpha=\{v_1,v_2\} é uma base de W. Assim a dimensão de W é
\dim W = 2.]
Passo 5
Apresentação didática do método de Gram–Schmidt (fórmula e significado):
Objetivo do método: a partir de uma base qualquer \{u_1,\dots,u_k\} produzir uma base ortogonal \{w_1,\dots,w_k\} do mesmo subespaço, isto é w_i\cdot w_j=0 para i\neq j, onde \cdot é o produto interno padrão (produto escalar).
Observação final: se quisermos uma base ortonormal, bastaria dividir cada w_i pela sua norma \|w_i\|=\sqrt{w_i\cdot w_i}, mas a questão pediu uma base ortogonal, então não é necessário normalizar.
Passo 7
Determinar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta — explicação e cálculo:
Definição prática: a matriz de mudança de base P_{\alpha\to\beta} é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da nova base \beta escritas em termos da base antiga \alpha.
Aqui temos \alpha=\{v_1,v_2\} e \beta=\{w_1,w_2\} com
w_1 = v_1,\qquad w_2 = v_2.
Escrever cada w_j como combinação linear dos vetores de \alpha: