O conjunto
definido abaixo
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais de adição de funções e de multiplicação escalar de funções. Verifique se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais
com as operações usuais, e o subconjunto
Para que
seja subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero (a função nula) pertence a
. -
é fechado sob soma: se , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Passo 2
Verificamos a função nula
para todo
. Temos
logo
ou seja,
.
Passo 3
Como a função zero não pertence a
, já falha a propriedade essencial de conter o vetor zero. Portanto não é necessário verificar as demais fechabilidades.