O conjunto \mathcal{V} definido abaixo
\mathcal{V}=\{f ; f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \text { é um função real }\}éçã
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com as operações usuais de adição de funções e de multiplicação escalar de funções. Verifique se o subconjunto
\mathcal{W}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(7)=2+f(1)\}
é um subespaço de \mathcal{V}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{V} de todas as funções reais f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com as operações usuais, e o subconjunto
\mathcal{W}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(7)=2+f(1)\}.
Para que \mathcal{W} seja subespaço de \mathcal{V}, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero (a função nula) pertence a \mathcal{W}.
  2. \mathcal{W} é fechado sob soma: se f,g\in\mathcal{W}, então f+g\in\mathcal{W}.
  3. \mathcal{W} é fechado sob multiplicação escalar: se f\in\mathcal{W} e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha f\in\mathcal{W}.

Passo 2

Verificamos a função nula f_0(x)=0 para todo x. Temos
f_0(7)=0 \quad\text{e}\quad f_0(1)=0,
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f_0(7)=0\;\neq\;2+0=2,
ou seja, f_0\notin\mathcal{W}.

Passo 3

Como a função zero não pertence a \mathcal{W}, já falha a propriedade essencial de conter o vetor zero. Portanto não é necessário verificar as demais fechabilidades.

Resposta

\mathcal{W} não é subespaço de \mathcal{V}.

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