Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores cujas coordenadas estão dadas em relação a uma base de \mathbb{V}^{3} :
\{(1,-1,0),(-2,2,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,-1,0),\;(-2,2,0)\} em \mathbb V^3 é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição de dependência linear, que envolve encontrar escalares \lambda_1,\lambda_2, não ambos nulos, tais que uma combinação linear deles seja o vetor nulo.

Passo 2

Segundo a definição, devemos resolver
\lambda_1\,(1,-1,0)\;+\;\lambda_2\,(-2,2,0)\;=\;(0,0,0).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} \lambda_1 \;-\;2\,\lambda_2 = 0,\\[6pt] -\lambda_1 \;+\;2\,\lambda_2 = 0,\\[6pt] 0 = 0. \end{cases}]

Passo 3

As duas primeiras equações são idênticas e implicam \lambda_1 = 2\,\lambda_2.
Podemos escolher \lambda_2=1 e obter \lambda_1=2, o que é uma solução não trivial. Em particular, observa-se também que
(-2,2,0) \;=\;-2\,(1,-1,0),
ou seja, um vetor é múltiplo escalar do outro.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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