O conjunto de matrizes:
M_{1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad M_{2}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad M_{3}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad M_{4}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
forma uma base para o espaço das matrizes 2 \times 2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
M_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[0.3em]0 & 0\end{pmatrix},\quad M_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[0.3em]1 & 1\end{pmatrix},\quad M_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[0.3em]1 & 0\end{pmatrix},\quad M_{4}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[0.3em]0 & 1\end{pmatrix}.
Queremos saber se \{M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}\} forma uma base. O espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, logo basta verificar se essas quatro matrizes são linearmente independentes.]

Passo 2

Suponha que exista combinação linear não trivial que dê a matriz zero:
a\,M_{1}+b\,M_{2}+c\,M_{3}+d\,M_{4} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Vamos escrever as quatro equações obtidas entry‐wise.

Passo 3

Equacionando cada entrada:
  1. Para a posição (1,1):
a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot1 + d\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + c = 0.
  1. Para a posição (1,2):
a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot0 + d\cdot1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + d = 0.
  1. Para a posição (2,1):
a\cdot0 + b\cdot1 + c\cdot1 + d\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b + c = 0.
  1. Para a posição (2,2):
a\cdot0 + b\cdot1 + c\cdot0 + d\cdot1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b + d = 0.

Passo 4

Do sistema
\begin{cases} a + c = 0,\\\ a + d = 0,\\\ b + c = 0,\\\ b + d = 0, \end{cases}
segue c=-a, d=-a e b=-c=a. Substituindo em b+d=0 a+(-a)=0, que é sempre verdade para qualquer a. Logo há soluções com a\neq0, por exemplo
a=1,\quad b=1,\quad c=-1,\quad d=-1,
o que mostra que as matrizes são linearmente dependentes. Equivalentemente, nota‐se diretamente que
M_{1}+M_{2} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad M_{3}+M_{4} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix},
ou seja, M_{1}+M_{2}-M_{3}-M_{4}=0.

Resposta

Não. As quatro matrizes são linearmente dependentes (por exemplo M_{1}+M_{2}=M_{3}+M_{4}), logo não formam base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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