Considere o conjunto de funções f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=x, f_{3}(x)=x^{2} e f_{4}(x)=x^{3} no espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3. Qual é a dimensão desse espaço? O conjunto \left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}\right\} forma uma base? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P_3 das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3 sobre \mathbb{R}. Dentro dele, temos os vetores \displaystyle f_{1}(x)=1,\;f_{2}(x)=x,\;f_{3}(x)=x^{2},\;f_{4}(x)=x^{3}.
O que se pede é (1) a dimensão de P_3 e (2) verificar se \{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\} forma uma base de P_3. Para isso vamos usar as definições de dimensão, gerador e independência linear.

Passo 2

Por definição, um exemplo de base canônica de P_3 é exatamente \{1,x,x^2,x^3\}. Uma base tem tantas funções quantos são os graus mais um, isto é, 4 elementos. Logo a dimensão de P_3 é
\dim(P_3)=4.

Passo 3

Para ver que \{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\} é linearmente independente, suponha que existam escalares a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R} tais que, para todo x,
a_0\,f_1(x)+a_1\,f_2(x)+a_2\,f_3(x)+a_3\,f_4(x)=0.
Isto é,
a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 = 0\quad\text{para todo }x.
Como um polinômio de grau até 3 que é identicamente zero tem todos os coeficientes nulos, segue que
a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0,
o que prova a independência linear.

Passo 4

Sabendo que \dim(P_3)=4 e que temos 4 vetores em \{f_1,f_2,f_3,f_4\} linearmente independentes, concluímos que eles formam uma base. Alternativamente, qualquer polinômio p(x)=b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 pode ser escrito como combinação linear
p(x)=b_0\,f_1(x)+b_1\,f_2(x)+b_2\,f_3(x)+b_3\,f_4(x),
mostrando que eles também geram todo P_3.

Resposta

A dimensão do espaço P_3 é 4, e o conjunto \{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\} forma sim uma base de P_3, pois é formado por 4 funções que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.

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