Considere o conjunto de funções
e
no espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3. Qual é a dimensão desse espaço? O conjunto
forma uma base? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
das funções polinomiais de grau menor ou igual a 3 sobre
. Dentro dele, temos os vetores
.
O que se pede é (1) a dimensão de e (2) verificar se
forma uma base de
. Para isso vamos usar as definições de dimensão, gerador e independência linear.
O que se pede é (1) a dimensão de
Passo 2
Por definição, um exemplo de base canônica de
é exatamente
. Uma base tem tantas funções quantos são os graus mais um, isto é, 4 elementos. Logo a dimensão de
é
Passo 3
Para ver que
é linearmente independente, suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Isto é,
Como um polinômio de grau até 3 que é identicamente zero tem todos os coeficientes nulos, segue que
o que prova a independência linear.
Passo 4
Sabendo que
e que temos 4 vetores em
linearmente independentes, concluímos que eles formam uma base. Alternativamente, qualquer polinômio
pode ser escrito como combinação linear
mostrando que eles também geram todo
.
Resposta
A dimensão do espaço
é
, e o conjunto
forma sim uma base de
, pois é formado por 4 funções que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.