Considere os vetores u_{1}=(1,2,1), u_{2}=(2,4,2) e u_{3}=(3,6,3) em \mathbb{R}^{3}. Determine se o conjunto \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} é linearmente dependente ou independente.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u_{1}=(1,2,1), u_{2}=(2,4,2) e u_{3}=(3,6,3) em \mathbb{R}^{3}. Queremos determinar se o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente dependente ou independente. Para isso, usaremos a definição de dependência linear: existe dependência se acharmos escalares, nem todos nulos, tais que
\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\lambda_{3}u_{3}=0.

Passo 2

Note que u_{2} e u_{3} são múltiplos escalares de u_{1}. De fato,
2\,u_{1}=2\,(1,2,1)=(2,4,2)=u_{2},
3\,u_{1}=(3,6,3)=u_{3}.

Passo 3

Como podemos escrever, por exemplo,
u_{2}-2u_{1}=0,
com coeficientes \lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=0 não todos nulos, concluímos que há uma combinação linear não trivial que leva ao vetor zero.

Resposta

O conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente dependente.

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