Considere as matrizes:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right]
Determine se a matriz M=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 5 & 2\end{array}\right] pode ser escrita como combinação linear de A, B e C.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 3 & 1\end{pmatrix}
e pergunta se
M=\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 5 & 2\end{pmatrix}
pode ser escrita como combinação linear de A, B e C. Aqui o conteúdo é o de combinação linear em um espaço vetorial de matrizes, e vamos resolver igualando entradas.

Passo 2

Suponhamos que existam escalares x,y,z tais que
xA+yB+zC = M.

Passo 3

Compute cada lado entrywise:
xA+yB+zC = x\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}1&1\\\ 3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+z & y+z\\\ 2x+y+3z & x+z\end{pmatrix}.

Passo 4

Igualando essa matriz a M obtemos o sistema
\begin{cases} x+z = 2,\\\ y+z = 2,\\\\ 2x+y+3z = 5,\\\ x+z = 2. \end{cases}
Note que a última equação é repetida da primeira.

Passo 5

Das duas primeiras equações temos
x = 2 - z,\quad y = 2 - z.
Substituindo em 2x+y+3z=5
2(2-z)+(2-z)+3z =5 \;\Longrightarrow\;4-2z+2-z+3z=5 \;\Longrightarrow\;6=5,
que é uma contradição.

Resposta

Não existe escolha de escalares x,y,z que satisfaça as igualdades, logo M não pode ser escrita como combinação linear de A, B e C.

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