O conjunto das matrizes ortogonais de ordem n é subespaço vetorial de Mn(R) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto das matrizes ortogonais de ordem n,
O(n) = A in Mn(R) mid A^T A = In,
é subespaço vetorial de Mn(R). Vamos usar a definição de matriz ortogonal e de subespaço vetorial.

Passo 2

Um subconjunto U subseteq Mn(R) é subespaço vetorial se satisfaz três condições: contém a matriz nula, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

A matriz nula 0 não pertence a O(n), pois
0^T 0 = 0 neq In
Logo, a condição de conter o elemento nulo falha, e O(n) não é subespaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto das matrizes ortogonais de ordem n não é subespaço vetorial de Mn(R).

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