Seja
o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo
. Mostre que os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço vetorial de
.
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não-vazio que é fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não-vazio que é fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
pertence a
.
Defina por
.
Claro que e
Defina
Claro que
logo
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Sejam . Então para todo
vale
Sejam
e, como
e
são pares,
e
. Assim
Além disso, soma de funções contínuas é contínua, então
. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Para todo
Seja
e como escalar vezes função contínua é contínua,
. Logo
.
Resposta
Concluímos que
contém o zero, é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço vetorial de
.