Seja C([-1,1]) o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [-1 ; 1]. Mostre que os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais de C([-1,1]).
W=f in C(I) mid f(t)=f(-t), forall t in I

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = ,f in C([-1,1]) mid f(t)=f(-t) para todo tin[-1,1],
é um subespaço vetorial de C([-1,1]).
Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não-vazio que é fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de C([-1,1]) pertence a W.
Defina ,0colon[-1,1]toR por ,0(t)=0.
Claro que ,0in C([-1,1]) e
0(t)=0=0(-t),
logo ,0in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam f,gin W. Então para todo tin[-1,1] vale
(f+g)(t)=f(t)+g(t)
e, como f e g são pares, f(t)=f(-t) e g(t)=g(-t). Assim
(f+g)(t)=f(-t)+g(-t)=(f+g)(-t)
Além disso, soma de funções contínuas é contínua, então f+gin C([-1,1]). Portanto f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja fin W e alphainR. Para todo tin[-1,1]
(alpha f)(t)=alpha,f(t)=alpha,f(-t)=(alpha f)(-t),
e como escalar vezes função contínua é contínua, alpha fin C([-1,1]). Logo alpha fin W.

Resposta

Concluímos que W contém o zero, é fechado sob soma e escalar, logo é subespaço vetorial de C([-1,1]).

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