Mostre que W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z+t=0 é subespaço de R^4.

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z,t)inR^4mid x-y-z+t=0.
Para mostrar que W é subespaço de R^4 basta verificar três propriedades:
  1. 0=(0,0,0,0)in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se uin W e lambdainR então lambdauin W.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo pertence a W. De fato, para
0=(0,0,0,0)
0 - 0 - 0 + 0 = 0,
logo 0in W.

Passo 3

Fecho por soma. Seja
u=(x1,y1,z1,t1)in W e v=(x2,y2,z2,t2)in W, ou seja
x1 - y1 - z1 + t1 = 0 e x2 - y2 - z2 + t2 = 0
Então para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2) temos
(x1+x2)-(y1+y2)-(z1+z2)+(t1+t2) =(x1-y1-z1+t1)+(x2-y2-z2+t2) =0+0=0
Portanto u+vin W.

Passo 4

Fecho por multiplicação escalar. Seja u=(x,y,z,t)in W e lambdainR. Como
x - y - z + t = 0,
temos para lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z,lambda t)
lambda x - lambda y - lambda z + lambda t =lambda,(x-y-z+t) =lambdacdot 0 =0
Logo lambdauin W.

Passo 5

Verificamos as três propriedades de subespaço (contém zero, fechado sob soma e fechado sob escalares).

Resposta

W é subespaço de R^4.

Exercícios relacionados