Um conjunto de números inteiros
é chamado um Sistema Completo de Resíduos Módulo
se satisfas à 2 condições:
i)
ii) Para todo inteiro
, existe
tal que
Nestas condições, mostre que o conjunto
é um Sistema Completo de Resíduos Módulo 5.
i)
ii) Para todo inteiro
Passo 1
O enunciado define um Sistema Completo de Resíduos Módulo
como um conjunto de inteiros
que satisfaz:
-
para . - Para todo inteiro
, existe com .
Aqui temose queremos mostrar que
é um Sistema Completo de Resíduos Módulo
.
Passo 2
Verificar a condição (i): mostrar que todos os elementos de
são distintos entre si módulo
.
Calculemos cada elemento de em termos de sua classe módulo
:
,
,
,
,
.
As cinco classes obtidas são , todas diferentes. Logo, a condição (i) está satisfeita.
Calculemos cada elemento de
As cinco classes obtidas são
Passo 3
Verificar a condição (ii): todo inteiro
tem alguma congruência em
.
De fato, para qualquer ,
é um dos valores em
.
Se for
, então
ou
, que estão em
.
Se for
, então
.
Se for
, então
.
Em todos os casos encontramos um elemento de congruente a
. Assim, a condição (ii) está satisfeita.
De fato, para qualquer
Se
Se
Se
Em todos os casos encontramos um elemento de
Resposta
O conjunto
satisfaz ambas as condições e, portanto, é um Sistema Completo de Resíduos Módulo
.