Um conjunto de números inteiros S=\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{k}\right\} é chamado um Sistema Completo de Resíduos Módulo m se satisfas à 2 condições:
i) r_{i} \not \equiv r_{j}(\bmod m)
ii) Para todo inteiro n, existe r_{i} \in S tal que n \equiv r_{i}(\bmod m)
Nestas condições, mostre que o conjunto S=\{-2,-1,0,1,2\} é um Sistema Completo de Resíduos Módulo 5.

Passo 1

O enunciado define um Sistema Completo de Resíduos Módulo m como um conjunto de inteiros S=\{r_1,r_2,\dots,r_k\} que satisfaz:
  1. r_i\not\equiv r_j\pmod m para i\neq j.
  2. Para todo inteiro n, existe r_i\in S com n\equiv r_i\pmod m.
    Aqui temos m=5 e queremos mostrar que
S=\{-2,-1,0,1,2\}
é um Sistema Completo de Resíduos Módulo 5.

Passo 2

Verificar a condição (i): mostrar que todos os elementos de S são distintos entre si módulo 5.
Calculemos cada elemento de S em termos de sua classe módulo 5:
-2\equiv 3\pmod5,
-1\equiv 4\pmod5,
0\equiv 0\pmod5,
1\equiv 1\pmod5,
2\equiv 2\pmod5.
As cinco classes obtidas são \{0,1,2,3,4\}, todas diferentes. Logo, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Verificar a condição (ii): todo inteiro n tem alguma congruência em S.
De fato, para qualquer n\in\mathbb{Z}, n\bmod5 é um dos valores em \{0,1,2,3,4\}.
Se n\bmod5 for 0,1,2, então n\equiv 0,1 ou 2\pmod5, que estão em S.
Se n\bmod5 for 3, então n\equiv -2\pmod5.
Se n\bmod5 for 4, então n\equiv -1\pmod5.
Em todos os casos encontramos um elemento de S congruente a n. Assim, a condição (ii) está satisfeita.

Resposta

O conjunto S=\{-2,-1,0,1,2\} satisfaz ambas as condições e, portanto, é um Sistema Completo de Resíduos Módulo 5.

Exercícios relacionados