Use o teorema de Wilson para encontrar o resto da divisão de 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 9^{2} \cdot 11^{2} \cdot 13^{2} \cdot 15^{2} por 17 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
3^{2}\cdot5^{2}\cdot7^{2}\cdot9^{2}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot15^{2}
por 17, e sugere usar o Teorema de Wilson, que diz que
16! \equiv -1 \pmod{17}.
Para aproveitar isso, vamos reescrever esse produto como quadrado de produto de números ímpares.

Passo 2

Note que
3^{2}5^{2}7^{2}9^{2}11^{2}13^{2}15^{2} =\bigl(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15\bigr)^{2},
porque incluir o fator 1 não altera nada. Definimos
P = 1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15 \pmod{17},
então nosso produto desejado é P^{2}\pmod{17}.

Passo 3

Para calcular P\pmod{17}, agrupamos pares cujos produtos sejam fáceis de reduzir:
1\cdot15 \equiv 15, \quad 3\cdot13 \equiv 39\equiv5, \quad 5\cdot11 \equiv 55\equiv4, \quad 7\cdot9 \equiv 63\equiv12 \pmod{17}.
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P \equiv (1\cdot15)\,(3\cdot13)\,(5\cdot11)\,(7\cdot9) \equiv 15\cdot5\cdot4\cdot12 \pmod{17}.

Passo 4

Continuando a redução módulo 17:
15\cdot5 =75\equiv7, \quad 4\cdot12=48\equiv14,
7\cdot14=98\equiv98-5\cdot17=98-85=13.
Portanto
P\equiv13\pmod{17}.

Passo 5

O resto procurado é
P^{2}\equiv13^{2}=169\equiv169-10\cdot17=169-170=-1\equiv16\pmod{17}.

Resposta

O resto da divisão é 16.

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