Mostre que 36^{36}+41^{41} é divisível por 77 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
36^{36}+41^{41}
é divisível por 77.
Como 77 = 7 \times 11 e \gcd(7,11)=1, basta provar que
36^{36}+41^{41}\equiv 0 \pmod{7} \quad\text{e}\quad 36^{36}+41^{41}\equiv 0 \pmod{11}.

Passo 2

Calculando módulo 7, note que
36 \equiv 1 \pmod{7}, \qquad 41 \equiv -1 \pmod{7}.
Logo
36^{36} \equiv 1^{36} = 1 \pmod{7}, \qquad 41^{41} \equiv (-1)^{41} = -1 \equiv 6 \pmod{7}.
Somando,
36^{36}+41^{41} \equiv 1 + 6 = 7 \equiv 0 \pmod{7}.

Passo 3

Agora em módulo 11, usamos o Pequeno Teorema de Fermat ( a^{10}\equiv1\pmod{11} para \gcd(a,11)=1). Temos
36\equiv 3 \pmod{11}, \quad 41\equiv 8 \pmod{11}.
Logo
36^{36} \equiv 3^{36} = 3^{10\cdot3+6} \equiv (3^{10})^3 \cdot 3^6 \equiv 1^3 \cdot 3^6 \equiv 3^6 \pmod{11}.
Como
3^2=9,\quad 3^3=27\equiv5,\quad 3^6=(3^3)^2\equiv5^2=25\equiv3\pmod{11},
segue
36^{36}\equiv3\pmod{11}.
E
41^{41}\equiv 8^{41} = 8^{10\cdot4+1} \equiv (8^{10})^4\cdot8^1 \equiv 1^4\cdot8 = 8\pmod{11}.
Somando,
36^{36}+41^{41}\equiv3+8=11\equiv0\pmod{11}.

Passo 4

Já que
36^{36}+41^{41}\equiv0\pmod{7} \quad\text{e}\quad 36^{36}+41^{41}\equiv0\pmod{11},
pela propriedade do CRT (ou simplesmente pelo fato de 7 e 11 serem primos distintos) concluímos que
36^{36}+41^{41}\equiv0\pmod{77}.

Resposta

36^{36}+41^{41} é divisível por 77.

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