Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
y^prime=-4x^2-1x y+y^2, y=2 x^-1+u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial usando uma mudança de variável. A equação é:
y^prime = -4x^2 - 1x y + y^2
E a mudança sugerida é:
y = 2x + u
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente de equações não lineares e substituições para simplificar e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos substituir $ y $ na equação original por $ \frac{2}{x} + u $. Para isso, também precisamos calcular $ y’ $.
Sabemos que:
y
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
2x + u

Passo 3

Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, distribuímos o termo $ -\frac{1}{x} $:
-1x

Passo 5

Simplificamos os termos semelhantes:
-2x^2 + u' = -6x^2 - ux + ( 4x^2 + 4ux + u^2 )

Passo 6

Agora, combinamos todos os termos:
-2x^2 + u' = -6x^2 - ux + 4x^2 + 4ux + u^2
Simplificando:
u' = -2x^2 + 3ux + u^2

Passo 7

Agora, temos uma nova equação diferencial para $ u $:
u
Para resolver essa equação, observamos que ela é uma equação diferencial de Riccati. No entanto, podemos tentar simplificar ou procurar soluções particulares.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Suponha que $ u = \frac{v}{x} $. Então:
u = vx
Substituindo na equação:
u' = v'x - vx^2
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
v'x - vx^2 = 3vx^2 + v^2x^2 - 2x^2
Simplificando:
x^2

Passo 9

Agora, temos uma equação mais simples:
v' = 4v + v^2 - 2x
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
dv4v + v^2 - 2 = dxx

Passo 10

Vamos resolver a integral dos dois lados. Primeiro, fatoramos o denominador:
4v + v^2 - 2 = v^2 + 4v - 2
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
v = -4 pm raiz16 + 82 = -4 pm raiz242 = -4 pm 2raiz62 = -2 pm raiz6
Então, podemos escrever:
dv(v - (-2 + raiz6))(v - (-2 - raiz6)) = dxx

Passo 11

Usamos frações parciais para integrar o lado esquerdo:
integral ( 1v + 2 - raiz6 - 1v + 2 + raiz6 ) dv = integral dxx
Integrando ambos os lados:
ln|v + 2 - raiz6| - ln|v + 2 + raiz6| = ln|x| + C

Passo 12

Podemos combinar os logaritmos:
ln| v + 2 - raiz6v + 2 + raiz6 | = ln|x| + C
Exponenciando ambos os lados:
v + 2 - raiz6v + 2 + raiz6 = Kx
Onde $ K = e^C $ é uma constante.

Passo 13

Resolvendo para $ v $:
v
Distribuindo $ Kx $:
v + 2 - raiz6 = Kx (v + 2 + raiz6)
Reagrupando termos com $ v $:
Kx
Então:
v + 2 - raiz6 = Kx v + 2Kx + Kx raiz6

Passo 14

Lembrando que $ u = \frac{v}{x} $, substituímos $ v $:
u = vx

Passo 15

Finalmente, voltamos à variável original $ y = \frac{2}{x} + u $:
y = 2x + u
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2x + 2K + K raiz6 - 2x + raiz6x1 - Kx
onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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