Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial usando uma mudança de variável. A equação é:
E a mudança sugerida é:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente de equações não lineares e substituições para simplificar e resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos substituir $ y $ na equação original por $ \frac{2}{x} + u $. Para isso, também precisamos calcular $ y’ $.
Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, distribuímos o termo $ -\frac{1}{x} $:
Passo 5
Simplificamos os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, combinamos todos os termos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma nova equação diferencial para $ u $:
Para resolver essa equação, observamos que ela é uma equação diferencial de Riccati. No entanto, podemos tentar simplificar ou procurar soluções particulares.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Suponha que $ u = \frac{v}{x} $. Então:
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos uma equação mais simples:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Passo 10
Vamos resolver a integral dos dois lados. Primeiro, fatoramos o denominador:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, podemos escrever:
Passo 11
Usamos frações parciais para integrar o lado esquerdo:
Integrando ambos os lados:
Passo 12
Podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde $ K = e^C $ é uma constante.
Passo 13
Resolvendo para $ v $:
Distribuindo $ Kx $:
Reagrupando termos com $ v $:
Então:
Passo 14
Lembrando que $ u = \frac{v}{x} $, substituímos $ v $:
Passo 15
Finalmente, voltamos à variável original $ y = \frac{2}{x} + u $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ K $ é uma constante arbitrária.