Seja B=Z times Z. Considerando as operações a seguir, verifique se elas são associativas e/ou comutativas.
(a, b) oplus(x, y)=(a x-b y, a y+b x)

Passo 1

O enunciado define B=ZtimesZ e a operação
(a,b)oplus(x,y)=(ax - by,; ay + bx)
Precisamos verificar se oplus é associativa e se é comutativa. O conteúdo utilizado é a álgebra dos números complexos (Gaussianos).

Passo 2

Interpretamos cada par (a,b) como o número complexo alpha = a + bi. A aplicação
phicolon B to Z[i] dada por phi(a,b)=a+bi satisfaz
phi(a,b),phi(x,y)=(a+bi)(x+yi)=ax - by + (ay+bx)i
e portanto
phi((a,b)oplus(x,y))=phi(a,b),phi(x,y)

Passo 3

Como a multiplicação em é associativa, ou seja
vemos que
o que prova que é associativa.

Passo 4

Como a multiplicação em é comutativa, ou seja , segue
o que mostra que é comutativa.

Resposta

oplus é associativa e comutativa.

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