Seja n>1 um inteiro e barr=k n+r mid k in Z, 0 <= r<n. Considerando o conjunto
Zn=0, 1, 2, ldots, n-1
e definindo a operação de adição em Zn como sendo
barx+bary=x+y
Mostre que (Z,+) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado define o conjunto das classes de resto módulo n
Zn = 0,1,dots,n-1
e a operação
barx + bary ;=; x+y
Queremos mostrar que (Zn,+) satisfaz os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e ainda é comutativo, isto é, um grupo abeliano.

Passo 2

(Fechamento)
Se barx,baryinZn, então x e y são inteiros quaisquer. Pela divisão de Euclides existe um único resto r com 0<= r<n tal que
x+y = kn + r
Logo
barx + bary = x+y = r,
e como rinZn segue a propriedade de fechamento.

Passo 3

(Associatividade)
Para quaisquer barx,bary,barzinZn temos
(barx + bary) + barz = x+y + barz = (x+y)+z,
e
barx + (bary + barz) = barx + y+z = x+(y+z)
Mas a adição em Z é associativa, isto é, (x+y)+z = x+(y+z). Portanto
(barx + bary) + barz = barx + (bary + barz)

Passo 4

(Elemento neutro)
Tomando 0inZn, para todo barx
barx + 0 = x+0 = x e 0 + barx = 0+x = x
Logo 0 é o elemento neutro da adição.

Passo 5

(Inverso)
Se barxinZn, então xequiv rpmod n para algum 0<= r<n. Defina y = n-r, cujo resto módulo n é n-r se rneq0, ou 0 se r=0. Em todo caso
x+y equiv r + (n-r) equiv 0 pmod n,
portanto
barx + y = 0
e y é o inverso de barx.

Passo 6

(Comutatividade)
Para quaisquer barx,bary
barx + bary = x+y = y+x = bary + barx,
pois a adição em Z é comutativa.

Resposta

Logo (Zn,+) é um grupo abeliano.

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