O conjunto B=1+t^2, t+t^2, 1+2 t+t^2 é uma base para P2. Determine o vetor de coordenadas B de p(t)=1+4 t+7 t^2.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? A base
B=,1+t^2,;t+t^2,;1+2t+t^2 gera o espaço P2 (polinômios de grau ≤2).
O exercício pede o vetor de coordenadas de
p(t)=1+4t+7t^2 nessa base.
Ou seja, a gente precisa achar escalares a,b,c tais que
a(1+t^2)+b(t+t^2)+c(1+2t+t^2)=1+4t+7t^2

Passo 2

Teoria rápida: em espaços de polinômios, pra escrever um polinômio como combinação linear da base, a gente expande e iguala coeficientes de 1, t e t^2.
Então escrevemos:
a(1+t^2)+b(t+t^2)+c(1+2t+t^2) = (a+c)cdot1 ;+;(b+2c)cdot t;+;(a+b+c)cdot t^2

Passo 3

Agora iguala com [1+4t+7t^2). Isso dá o sistema:
É só resolver pra (a,b,c].

Passo 4

  1. Da primeira equação: a = 1 - c.
  2. Da segunda: b = 4 - 2c.
  3. Substitui na terceira:
    (1-c)+(4-2c)+c =7 ;Rightarrow;5 -2c =7 ;Rightarrow;c = -1
  4. Então a = 1-(-1)=2 e b = 4-2(-1)=6.

Resposta

O vetor de coordenadas de p(t) na base B é
[, p,] B = (2,;6,;-1)

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