O conjunto B=1-t^2, t-t^2, 2-2 t+t^2 é uma base para P2. Determine o vetor de coordenadas B de p(t)=3+t-6 t^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a base
B = ,1 - t^2,;t - t^2,;2 - 2t + t^2
do espaço P2 e pede o vetor de coordenadas de
p(t)=3 + t - 6t^2
nessa base. Para isso, vamos escrever p(t) como combinação linear dos vetores de B e determinar os coeficientes.

Passo 2

Suponha
p(t) = a,(1 - t^2) ;+; b,(t - t^2) ;+; c,(2 - 2t + t^2)
Expandindo e agrupando termos semelhantes em potências de t, obtemos
a(1 - t^2) + b(t - t^2) + c(2 - 2t + t^2) = (a + 2c) ;+; (b - 2c),t ;+; (-a - b + c),t^2

Passo 3

Como queremos que isso seja igual a
p(t)=3 + t - 6t^2, igualamos coeficientes de cada potência de t:
a + 2c = 3, b - 2c = 1, -,a ;-; b ;+; c = -6

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, a = 3 - 2c.
Da segunda, b = 1 + 2c.
Substituindo em -a - b + c = -6:
-,(3 - 2c);-;(1 + 2c);+;c = -6 ;Longrightarrow;-3 + 2c -1 -2c + c = -6 ;Longrightarrow;-4 + c = -6 ;Longrightarrow;c = -2
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a = 3 - 2(-2) = 7, b = 1 + 2(-2) = -3

Resposta

O vetor de coordenadas de p(t) em relação à base B é
l[p(t)r]B = (7,,-3,,-2)

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