(I ponto) 6^2 São dados três vetores a, b e c de modo que a+b-c=O. Se |a|=3, |b|=1 e |c|=4 entino quanto vale a cdot b-b cdot c-c cdot a ?
( 1 ponto) 7 星 Os vetores a, b, c e d sû̃ tais que verificam as relaçĩes a times b=c times d e a times c=b times d. Prove que, nessas condições, os vetores a-d e b-c sāo LD.

Passo 1

O enunciado da parte (I) dá três vetores vec a,vec b,vec c com vec a+vec b-vec c=vec O e normas |vec a|=3,|vec b|=1,|vec c|=4. A tarefa é calcular vec acdotvec b - vec bcdotvec c - vec ccdotvec a. Na parte (II) temos vetores satisfazendo vec atimesvec b=vec ctimesvec d e vec atimesvec c=vec btimesvec d e precisamos provar que vec a-vec d e vec b-vec c são linearmente dependentes. O conteúdo envolve produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Como vec a+vec b-vec c=vec O então vec c=vec a+vec b. Substituindo em vec acdotvec b - vec bcdotvec c - vec ccdotvec a usamos bilinearidade do produto escalar: De fato
vec bcdotvec c=vec bcdot(vec a+vec b)=vec acdotvec b+|vec b|^2,
vec ccdotvec a=(vec a+vec b)cdotvec a=|vec a|^2+vec acdotvec b
Logo
vec acdotvec b - vec bcdotvec c - vec ccdotvec a=vec acdotvec b -(vec acdotvec b+|vec b|^2)-( |vec a|^2+vec acdotvec b)=-|vec a|^2-|vec b|^2-vec acdotvec b

Passo 3

Como |vec c|^2=|vec a|^2+|vec b|^2+2vec acdotvec b temos vec acdotvec b=(16-9-1)/2=3. Substituindo dá -9-1-3=-13.

Passo 4

Para a parte (II), para mostrar que dois vetores são LD basta ver que seu produto vetorial é nulo. Calculemos
(vec a-vec d)times(vec b-vec c)=vec atimesvec b-vec atimesvec c-vec dtimesvec b+vec dtimesvec c
Usando vec atimesvec b=vec ctimesvec d e vec atimesvec c=vec btimesvec d e que vec dtimesvec b=-vec btimesvec d, vec dtimesvec c=-vec ctimesvec d, obtemos soma de termos iguais com sinais opostos, resultando em vec O.
Logo (vec a-vec d)times(vec b-vec c)=vec O, o que implica que vec a-vec d e vec b-vec c são linearmente dependentes.

Resposta

Parte (I): -13. Parte (II): Os vetores (\vec a-\vec d) e (\vec b-\vec c) são linearmente dependentes, pois seu produto vetorial é o vetor nulo.

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