(I ponto)
São dados três vetores
e
de modo que
. Se
,
e
entino quanto vale
?
( 1 ponto) 7 星 Os vetores
e
sû̃ tais que verificam as relaçĩes
e
. Prove que, nessas condições, os vetores
e
sāo LD.
( 1 ponto) 7 星 Os vetores
Passo 1
O enunciado da parte (I) dá três vetores
com
e normas
. A tarefa é calcular
. Na parte (II) temos vetores satisfazendo
e
e precisamos provar que
e
são linearmente dependentes. O conteúdo envolve produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Como
então
. Substituindo em
usamos bilinearidade do produto escalar: De fato
Logo
Passo 3
Como
temos
. Substituindo dá
.
Passo 4
Para a parte (II), para mostrar que dois vetores são LD basta ver que seu produto vetorial é nulo. Calculemos
Usando
e
e que
,
, obtemos soma de termos iguais com sinais opostos, resultando em
.
Logo , o que implica que
e
são linearmente dependentes.
Logo
Resposta
Parte (I): -13. Parte (II): Os vetores (\vec a-\vec d) e (\vec b-\vec c) são linearmente dependentes, pois seu produto vetorial é o vetor nulo.