Sejam u=(2,4) e v=(-3,5). Determine:
(a) o produto escalar de u por v;
(b) o ângulo entre u e v;
(c) a projeção de u em v.

Passo 1

Resumindo o enunciado: dadas as componentes u=(2,4) e v=(-3,5), queremos calcular (a) o produto escalar, (b) o ângulo entre elas e (c) a projeção de u em v. Para isso usaremos as fórmulas
ucdotv=u1v1+u2v2,
costheta=ucdotvlVerturVert,lVertvrVert
e
projv(u)=ucdotvlVertvrVert^2,v.

Passo 2

Calculando o produto escalar, temos
ucdotv =2cdot(-3)+4cdot5 =-6+20 =14

Passo 3

Agora as normas:
lVert urVert = raiz2^2+4^2=raiz20=2raiz5, lVert vrVert = raiz(-3)^2+5^2=raiz34
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costheta =142raiz5,raiz34 =7raiz170, theta=arccos!l(tfrac7raiz170r)approx57,7^circ

Passo 4

Para a projeção:
projv(u) =14lVertvrVert^2,v =1434,(-3,5) =717,(-3,5) =l(-tfrac2117,tfrac3517r)

Resposta

(a) 14
(b) theta=arccosl(tfrac7raiz170r)approx57,7^circ
(c) projv(u)=l(-tfrac2117,,tfrac3517r)

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