Nos Exercícios 5 a 8, determine o vetor de coordenadas [x]B de x em relação à base B=b1, ldots, bn dada.
5. b1=[r1 -3], b2=[r2 -5], x=[r-2 1]

Passo 1

Beleza, o exercício pede para achar as coordenadas de
x = -21
na base B=,b1,b2, onde
b1=1-3, b2=2-5
Isso é Álgebra Linear: mudança de base em R^2. Vamos precisar entender combinação linear e resolver um sistema de duas equações.

Passo 2

O que significa “coordenadas de x na base B”?
Significa encontrar escalares a1,a2 tais que
a1,b1 + a2,b2 = x
Isso vale porque toda base em R^2 gera o espaço por combinação linear.

Passo 3

Vamos escrever isso em forma de sistema. Substituindo os vetores:
a11-3 + a22-5 =-21 Longrightarrow 1cdot a1 + 2cdot a2 = -2, -3cdot a1 -5cdot a2 = 1

Passo 4

Agora, resolver o sistema por substituição:
  1. Da primeira equação, a1 = -2 - 2a2.
  2. Substitui na segunda:
-3(-2 - 2a2) -5a2 = 1 ;Longrightarrow; 6 +6a2 -5a2 = 1 ;Longrightarrow; 6 + a2 = 1 ;Longrightarrow; a2 = -5
  1. Volta em a1 = -2 - 2a2:
a1 = -2 - 2(-5) = -2 +10 = 8

Resposta

[x]B =8-5

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