O conjunto B=1+x^2, x+x^2, 1+2 x+x^2 é uma base para P2(R). Determine as coordenadas de p(x)=1+4 x+7 x^2 em relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de p(x)=1+4x+7x^2 em relação à base
B=,1+x^2,;x+x^2,;1+2x+x^2
de P2(R). Para isso, vamos escrever p como combinação linear dos vetores de B e achar os coeficientes.

Passo 2

Sejam alpha,beta,gammainR tais que
alpha(1+x^2)+beta(x+x^2)+gamma(1+2x+x^2) =1+4x+7x^2

Passo 3

Desenvolvendo o lado esquerdo e juntando termos semelhantes em 1, x e x^2, obtemos
(alpha+gamma) +(beta+2gamma),x +(alpha+beta+gamma),x^2 =1+4x+7x^2
Igualando coeficientes, surge o sistema
alpha+gamma=1, beta+2gamma=4, alpha+beta+gamma=7

Passo 4

Vamos resolver:
Da primeira equação vem alpha=1-gamma.
Substituindo na terceira:
(1-gamma)+beta+gamma=7 Longrightarrow beta=6
Agora a segunda dá
6+2gamma=4 Longrightarrow gamma=-1
Logo alpha=1-(-1)=2.

Resposta

As coordenadas de p na base B são (2,6,-1).

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