Determine a distância de<a entre o ponto A=(3,1) e a reta r: x+2 y=3, pelo seguinte método:
a) Encontre a equação da reta s, perpendicular a reta r e contendo o ponto A;
b) Ache o ponto B dado pela intersecção de res;
c) Calcule a distância entre A e B.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos um ponto A nas coordenadas (3, 1) e uma reta r definida pela equação x + 2y = 3 . Nosso objetivo é descobrir a distância de<a entre esse ponto e a reta. Para isso, vamos seguir três passos principais:
  1. Encontrar a equação da reta s que é perpendicular à reta r e passa pelo ponto A.
  2. Descobrir o ponto B que é a interseção entre as retas r e s.
  3. Calcular a distância entre os pontos A e B.
Vamos precisar conhecer um pouco sobre inclinações de retas, como encontrar a equação de uma reta perpendicular e usar a fórmula de distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta r. A equação da reta r é x + 2y = 3 . Para achar a inclinação, vamos colocar essa equação na forma y = mx + b , onde m é a inclinação.
Começamos isolando o y:
x + 2y = 3 2y = -x + 3 y = -12x + 32
Então, a inclinação da reta r é mr = -12 .

Passo 3

Agora, queremos a equação da reta s que é perpendicular à reta r e passa pelo ponto A=(3, 1). Sabemos que a inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da reta original. Então, se mr = -12 , a inclinação da reta s será:
ms = -1mr = -1-12 = 2
Agora, sabemos que a reta s tem inclinação 2 e passa pelo ponto (3, 1). Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = ms (x - x1)
Substituindo:
y - 1 = 2(x - 3) y - 1 = 2x - 6 y = 2x - 5
Então, a equação da reta s é y = 2x - 5 .

Passo 4

Agora que temos as equações das retas r e s, vamos encontrar o ponto B que é a interseção delas. As equações são:
r: x + 2y = 3 s: y = 2x - 5
Vamos substituir a equação de s na equação de r:
x + 2(2x - 5) = 3 x + 4x - 10 = 3 5x - 10 = 3 5x = 13 x = 135
Agora, substituímos o valor de x na equação de s para encontrar y:
y = 2(135) - 5 = 265 - 255 = 15
Portanto, o ponto B é ( 135, 15 ) .

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a distância entre os pontos A=(3, 1) e B= ( 135, 15 ) . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
de<a = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2
Substituindo os valores:
de<a = raiz( 135 - 3 )^2 + ( 15 - 1 )^2 = raiz( 135 - 155 )^2 + ( 15 - 55 )^2 = raiz( -25 )^2 + ( -45 )^2 = raiz 425 + 1625 = raiz 2025 = raiz 45 = 2raiz5 = 2raiz55

Resposta

A distância entre o ponto A=(3, 1) e a reta r é de<a = 2raiz55 unidades.

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