Determine a distância
entre o ponto
e a reta
, pelo seguinte método:
a) Encontre a equação da reta
, perpendicular a reta r e contendo o ponto
;
b) Ache o ponto B dado pela intersecção de res;
c) Calcule a distância entre
e
.
a) Encontre a equação da reta
b) Ache o ponto B dado pela intersecção de res;
c) Calcule a distância entre
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos um ponto A nas coordenadas (3, 1) e uma reta r definida pela equação
. Nosso objetivo é descobrir a distância
entre esse ponto e a reta. Para isso, vamos seguir três passos principais:
- Encontrar a equação da reta s que é perpendicular à reta r e passa pelo ponto A.
- Descobrir o ponto B que é a interseção entre as retas r e s.
- Calcular a distância entre os pontos A e B.
Vamos precisar conhecer um pouco sobre inclinações de retas, como encontrar a equação de uma reta perpendicular e usar a fórmula de distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta r. A equação da reta r é
. Para achar a inclinação, vamos colocar essa equação na forma
, onde
é a inclinação.
Começamos isolando o y:
Então, a inclinação da reta r é
.
Passo 3
Agora, queremos a equação da reta s que é perpendicular à reta r e passa pelo ponto A=(3, 1). Sabemos que a inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da reta original. Então, se
, a inclinação da reta s será:
Agora, sabemos que a reta s tem inclinação 2 e passa pelo ponto (3, 1). Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Então, a equação da reta s é
.
Passo 4
Agora que temos as equações das retas r e s, vamos encontrar o ponto B que é a interseção delas. As equações são:
Vamos substituir a equação de s na equação de r:
Agora, substituímos o valor de x na equação de s para encontrar y:
Portanto, o ponto B é
.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a distância entre os pontos A=(3, 1) e B=
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Resposta
A distância entre o ponto A=(3, 1) e a reta r é
unidades.