Questão 2 Considere o operador linear definido por T(x, y, z)=(x, x+2 y,-3 x+5 y+2 z). Determine - polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes. T é diagonalizável?

Passo 1

A questão pede pra gente achar o polinômio característico, os autovalores e autovetores de um operador linear em R^3 e ver se ele é diagonalizável. O conteúdo principal aqui é: representação matricial em base canônica, cálculo de determinante para obter o polinômio característico, resolução de sistemas lineares para as autopropiedades, e comparação de multiplicidades algébrica e geométrica para testar diagonalizabilidade.

Passo 2

Vamos representar T na base canônica e1,e2,e3. Como T(x,y,z)=(x,,x+2y,,-3x+5y+2z), a matriz A de T é
A=1 & 0 & 0 1 & 2 & 0 -3 & 5 & 2

Passo 3

Pra achar o polinômio característico, calculamos det(A-lambda I). Como
A-lambda I=1-lambda & 0 & 0 1 & 2-lambda & 0 -3 & 5 & 2-lambda,
o determinante fica
det(A-lambda I)=(1-lambda)det2-lambda & 0 5 & 2-lambda=(1-lambda)(2-lambda)^2
Logo o polinômio característico é p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)^2, dando autovalores lambda1=1 (mult. algébrica 1) e lambda2=2 (mult. algébrica 2).

Passo 4

Para
Isso gera o sistema
e , então os autovetores de são múltiplos de .

Passo 5

Para
as equações são
, e livre. Os autovetores de são múltiplos de .

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1 (mas a algébrica é 2), não dá pra achar 3 autovetores independentes. Portanto, T não é diagonalizável.

Resposta

Polinômio característico: p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)^2.
Autovalores e autovetores:
  • lambda1=1, autovetores proporcionais a (1,-1,8).
  • lambda2=2, autovetores proporcionais a (0,0,1).
    Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é menor que a algébrica, T não é diagonalizável.

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