Questão 2 Considere o operador linear definido por . Determine - polinômio característico, os autovalores e autovetores correspondentes. é diagonalizável?
Passo 1
A questão pede pra gente achar o polinômio característico, os autovalores e autovetores de um operador linear em e ver se ele é diagonalizável. O conteúdo principal aqui é: representação matricial em base canônica, cálculo de determinante para obter o polinômio característico, resolução de sistemas lineares para as autopropiedades, e comparação de multiplicidades algébrica e geométrica para testar diagonalizabilidade.
Passo 2
Vamos representar na base canônica . Como , a matriz de é
Passo 3
Pra achar o polinômio característico, calculamos det(A-lambda I). Como
Logo o polinômio característico é p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)^2, dando autovalores lambda1=1 (mult. algébrica 1) e lambda2=2 (mult. algébrica 2).
Passo 4
Para
Isso gera o sistema
e , então os autovetores de são múltiplos de .
Passo 5
Para
as equações são
, e livre. Os autovetores de são múltiplos de .
Passo 6
Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1 (mas a algébrica é 2), não dá pra achar 3 autovetores independentes. Portanto, T não é diagonalizável.
Resposta
Polinômio característico: p(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)^2.
Autovalores e autovetores:
lambda1=1, autovetores proporcionais a (1,-1,8).
lambda2=2, autovetores proporcionais a (0,0,1).
Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é menor que a algébrica, T não é diagonalizável.