O conjunto S=x^3, 2 x^2-x+3, x^3-3 x^2+4 x-1 é base de P3(R) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = ,x^3,;2x^2-x+3,;x^3-3x^2+4x-1
e pergunta se S é base de P3(R). Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais: para ser base de um espaço vetorial precisamos que o conjunto seja linearmente independente e que gere todo o espaço.

Passo 2

Recordemos que
diml(P3(R)r)=4,
pois uma base natural é 1,x,x^2,x^3.

Passo 3

Para um conjunto ser base de um espaço de dimensão 4, ele precisa ter exatamente 4 vetores. O conjunto S tem apenas 3 polinômios.

Passo 4

Como #S=3<4=diml(P3(R)r), S não pode gerar todo P3(R). Logo falta um vetor para completar uma base.

Resposta

Não, S não é base de P3(R), pois seu número de elementos é inferior à dimensão do espaço.

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