Quais dos seguintes conjuntos são L.I. em M2(R) ?
[ll-1 & 1 -2 & 2],[ll3 & 0 1 & 1],[cc0 & 2 -3 & 1],[ll-1 & 0 -1 & 7].

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M2(R):
A1 = -1 & 1 -2 & 2, A2 = 3 & 0 1 & 1, A3 = 0 & 2 -3 & 1, A4 = -1 & 0 -1 & 7
Como dim M2(R)=4, quatro vetores (matrizes) podem ser ou independentes ou dependentes. Para testar independência, montamos a combinação linear
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0
e igualamos entrada a entrada.

Passo 2

Escrevendo as equações em cada entrada, obtemos o sistema
-,c1 ;+;3,c2 ;-;c4 = 0, ;c1 ;+;2,c3 = 0, -2,c1 ;+;c2 ;-;3,c3 ;-;c4 = 0, 2,c1 ;+;c2 ;+;c3 ;+;7,c4 = 0

Passo 3

Resolvendo por eliminação:
– Da segunda equação vem
c1 = -2,c3
– Substituindo em 1ª e 3ª equações e eliminando c4, achamos
c4 = 3,c2 + 2,c3 e c3 = -2,c2
Logo
c1 = 4,c2, c3 = -2,c2, c4 = -,c2
Como sobra o parâmetro livre c2, existe solução não trivial (c1,c2,c3,c4)= (4,1,-2,-1), por exemplo
4A1 + 1A2 -2A3 -1A4 = 0

Passo 4

Conclusão: as quatro matrizes são linearmente dependentes, pois há combinação não trivial que dá a matriz zero.
Se exigirmos que uma das constantes seja zero (isto é, remover qualquer uma das quatro matrizes), a única solução do sistema passa a ser trivial (ci=0). Portanto qualquer subconjunto de três dessas matrizes é linearmente independente.

Resposta

A família completa A1,A2,A3,A4 é linearmente dependente, mas todos os seus subconjuntos de tamanho 3 (por exemplo A1,A2,A3,A1,A2,A4 etc.) são linearmente independentes.

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