Quais dos seguintes conjuntos são L.I. em M2(R) ?
[cc1 & 1 0 & -1],[cc1 & -1 1 & 0],[ll1 & 0 3 & 2].

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes em M2(R):
A1 = 1 & 10 & -1, A2 = 1 & -11 & 0, A3 = 1 & 03 & 2
e pede para verificar se elas são linearmente independentes. O conteúdo é Espaços Vetoriais (em particular M2(R)) e o critério consiste em ver se a única combinação
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0
é a trivial c1=c2=c3=0.

Passo 2

Suponha
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = c11 & 10 & -1 + c21 & -11 & 0 + c31 & 03 & 2 = 0 & 00 & 0

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
c1 + c2 + c3 = 0, c1 - c2 = 0, c2 + 3c3 = 0, -,c1 + 2c3 = 0

Passo 4

Da segunda equação vem
c1 = c2
Substituindo em -c1+2c3=0
c1 = 2c3,
logo c2=2c3. Na terceira equação
c2 + 3c3 = 2c3 + 3c3 = 5c3 = 0
segue c3=0. Então c1=c2=0. Verifica-se que isso satisfaz também a primeira equação, logo a única solução é a trivial.

Passo 5

Como a única combinação linear que produz a matriz nula é a trivial, as três matrizes são linearmente independentes em M2(R).

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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