O conjunto dos polinômios reais (de qualquer grau) é um espaço vetorial com a soma e multiplicação por escalar usuais? Se sim qual a dimensão deste espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
de todos os polinômios com coeficientes em
(de grau arbitrário) forma um espaço vetorial sobre
quando usamos a soma e a multiplicação por escalar “normais”, e em caso afirmativo qual é a dimensão desse espaço. O conteúdo que vamos usar é: definição de espaço vetorial (fechamento, elemento neutro, inverso, axiomas) e o conceito de dimensão via base e cardinalidade dessa base.
Passo 2
Para ver que
é espaço vetorial, lembramos que um espaço vetorial sobre
precisa satisfazer, entre outros, estes pontos principais:
- Fechamento sob soma: se
e são polinômios, então também é polinômio. - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
e é polinômio, então é polinômio. - Existe o polinômio zero,
, que é o elemento neutro da soma. - Para cada polinômio
existe o inverso aditivo . - Os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, distributividade, etc.) seguem diretamente das propriedades dos números reais.
Como todas essas condições são satisfeitas, concluímos queé realmente um espaço vetorial sobre .
Passo 3
Para determinar a dimensão de
precisamos encontrar uma base, ou seja, um conjunto de polinômios que seja linearmente independente e que gere todo
.
O candidato natural é
O candidato natural é
- Esse conjunto gera
porque qualquer polinômio
é combinação linear finita de
.
2. Ele é linearmente independente, pois se
2. Ele é linearmente independente, pois se
(nulo como polinômio), então todos os coeficientes
têm de ser zero.
Como a base tem infinitos elementos enumerados por , sua cardinalidade é infinita contável.
Como a base tem infinitos elementos enumerados por
Resposta
Sim, o conjunto dos polinômios reais é um espaço vetorial sobre
, e sua dimensão é infinita contável, ou seja,
.