O conjunto dos polinômios reais (de qualquer grau) é um espaço vetorial com a soma e multiplicação por escalar usuais? Se sim qual a dimensão deste espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto P de todos os polinômios com coeficientes em R (de grau arbitrário) forma um espaço vetorial sobre R quando usamos a soma e a multiplicação por escalar “normais”, e em caso afirmativo qual é a dimensão desse espaço. O conteúdo que vamos usar é: definição de espaço vetorial (fechamento, elemento neutro, inverso, axiomas) e o conceito de dimensão via base e cardinalidade dessa base.

Passo 2

Para ver que P é espaço vetorial, lembramos que um espaço vetorial sobre R precisa satisfazer, entre outros, estes pontos principais:
  1. Fechamento sob soma: se p(x) e q(x) são polinômios, então (p+q)(x)=p(x)+q(x) também é polinômio.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: se cinR e p(x) é polinômio, então (c,p)(x)=c,p(x) é polinômio.
  3. Existe o polinômio zero, 0(x)=0, que é o elemento neutro da soma.
  4. Para cada polinômio p(x) existe o inverso aditivo -p(x).
  5. Os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, distributividade, etc.) seguem diretamente das propriedades dos números reais.
    Como todas essas condições são satisfeitas, concluímos que P é realmente um espaço vetorial sobre R.

Passo 3

Para determinar a dimensão de P precisamos encontrar uma base, ou seja, um conjunto de polinômios que seja linearmente independente e que gere todo P.
O candidato natural é
,1,;x,;x^2,;x^3,;dots
  1. Esse conjunto gera P porque qualquer polinômio
p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + cdots + an x^n
é combinação linear finita de 1,x,x^2,dots,x^n.
2. Ele é linearmente independente, pois se
c0cdot 1 + c1 x + cdots + cm x^m = 0
(nulo como polinômio), então todos os coeficientes ci têm de ser zero.
Como a base tem infinitos elementos enumerados por 0,1,2,dots, sua cardinalidade é infinita contável.

Resposta

Sim, o conjunto dos polinômios reais é um espaço vetorial sobre R, e sua dimensão é infinita contável, ou seja, dim(P)=a<=ph0.

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