Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação x^2+y^2+2 a x y=0 é a reunião de duas retas, determine a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de a tais que o lugar geométrico dado por
x^2+y^2+2a,x,y=0
se possa escrever como a reunião (união) de duas retas em R^2. Isso é um polinômio homogêneo de grau 2, e vamos usar fatoração em fatores lineares para achar a condição em a.

Passo 2

Suponhamos que
x^2+y^2+2a,x,y
se fatorize em dois fatores lineares reais passando pela origem, isto é, da forma
(x+m,y),(x+n,y)=0
Ao expandir, temos
(x+m,y)(x+n,y)=x^2+(m+n),x,y + m,n,y^2
Para coincidir com o polinômio dado, é necessário que
m+n=2a e m,n=1

Passo 3

As relações
m+n=2a, m,n=1
são as raízes da equação quadrática em m:
m^2-2a,m+1=0
As raízes são dadas por
m,n = 2a pm raiz(2a)^2-4cdot1cdot12 = a pm raiza^2-1

Passo 4

Para que as retas sejam reais (i.e.\ para que m e n sejam números reais), é preciso que o discriminante da quadrática seja não-negativo:
a^2-1>=0 Longrightarrow a^2>=1 Longrightarrow a<= -1ou a>=1
Se a^2=1, então m=n e as duas retas coincidem; se a^2>1, obtemos duas retas distintas.

Resposta

a<= -1ou a>=1

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