Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação
é a reunião de duas retas, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que o lugar geométrico dado por
se possa escrever como a reunião (união) de duas retas em
. Isso é um polinômio homogêneo de grau
, e vamos usar fatoração em fatores lineares para achar a condição em
.
Passo 2
Suponhamos que
se fatorize em dois fatores lineares reais passando pela origem, isto é, da forma
Ao expandir, temos
Para coincidir com o polinômio dado, é necessário que
Passo 3
As relações
são as raízes da equação quadrática em
:
As raízes são dadas por
Passo 4
Para que as retas sejam reais (i.e.\ para que
e
sejam números reais), é preciso que o discriminante da quadrática seja não-negativo:
Se
, então
e as duas retas coincidem; se
, obtemos duas retas distintas.