Q3: O conjunto das quádruplas \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) que satisfazem x_{1}+5 x_{4}=-3 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-8 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-18 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-8 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-18 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a descrição de todas as quádruplas \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a única equação
x_{1}+5x_{4}=-3.
O conteúdo é representação paramétrica (forma afim) de um hiperplano em \mathbb{R}^{4}. Vamos achar um ponto particular e um conjunto de vetores que geram o espaço homogêneo associado.

Passo 2

Escolhemos variáveis livres para x_{2},x_{3},x_{4}. Seja
x_{2}=s,\quad x_{3}=t,\quad x_{4}=u.
Da equação x_{1}+5x_{4}=-3 segue
x_{1}=-3-5u.
Logo, toda solução pode ser escrita como
\begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando com as opções, o espaço de direções deve ser
\span\Bigl\{\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0),\,(-5,0,0,1)\Bigr\},
e o ponto particular deve satisfazer x_{1}+5x_{4}=-3.
A alternativa (A) apresenta o ponto
\bigl(-8,-2,-3,1\bigr), que de fato cumpre
-8+5\cdot1=-3,
e a span
\{(-5,0,0,1),(0,0,5,0),(0,5,0,0)\},
cujo espaço gerado coincide com
\span\{(-5,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}.

Passo 4

Nenhuma outra opção atende simultaneamente ao ponto particular correto e ao subespaço homogêneo.

Resposta

(A)

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