Q1: Seja H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}8 \\\\ 4 \\\\ 10\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right]\right\} \subset \mathbb{R}^{3}. A dimensão de H é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de
\displaystyle H=\operatorname{span}\bigl\{v_1,v_2,v_3,v_4\bigr\}\subset\mathbb{R}^3,
onde
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(-2,0,-3),\quad v_3=(8,4,10),\quad v_4=(3,1,4).
Como qualquer subespaço de \mathbb{R}^3 tem dimensão no máximo 3, basta achar o número máximo de vetores independentes entre esses quatro.

Passo 2

Verificamos se v_1 e v_2 são independentes resolvendo
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 = (0,0,0).
Isto é,
(c_1 - 2c_2,\;c_1,\;c_1-3c_2) = (0,0,0).
Da segunda componente vem c_1=0. Substituindo na primeira, -2c_2=0 leva a c_2=0. Logo v_1 e v_2 são lin. independentes.

Passo 3

Agora checamos se v_3\) está no span\(\{v_1,v_2\}\), isto é, se existem \(a,b\) tais que \[a\,v_1 + b\,v_2 = v_3.
Componentes dão o sistema
\begin{cases} a - 2b = 8,\\\ a = 4,\\\ a - 3b = 10. \end{cases}
Da segunda equação a=4\]. Na primeira, \(4-2b=8 implica b=-2, e na terceira 4-3(-2)=10 confirma. Logo v_3=4v_1 - 2v_2, ou seja, é dependente de v_1,v_2.

Passo 4

Fazendo o mesmo para v_4\), queremos \(a,b\) tais que \[a\,v_1 + b\,v_2 = v_4,
o que gera
\begin{cases} a - 2b = 3,\\\ a = 1,\\\ a - 3b = 4. \end{cases}
Da segunda equação a=1\]. Então \(1-2b=3 b=-1 e 1-3(-1)=4 confirma. Logo v_4 = 1\cdot v_1 -1\cdot v_2, também dependente.

Passo 5

Concluímos que apenas v_1 e v_2 são lin. independentes e que v_3,v_4 são combinações lineares delas. Portanto
\dim(H) = 2.

Resposta

(B)

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