Q5: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-2 y+z, 2 x-3 y+2 z,-3 x+3 y-2 z). Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{12} vale:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z)=(-x-2y+z,\;2x-3y+2z,\;-3x+3y-2z)
sobre \mathbb{R}^3 e pede a matriz B que representa T^{-1} (a inversa de T). Em particular, queremos o elemento b_{12} dessa matriz. Vamos usar o método da matriz adjunta:
  1. escrever a matriz A de T na base canônica;
  2. calcular \det(A);
  3. formar a matriz de cofatores e sua transposta (adjunta);
  4. dividir pela determinante para obter A^{-1};
  5. ler b_{12}.

Passo 2

Na base canônica, T tem matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1\\\\ 2 & -3 & 2\\\\ -3 & 3 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & -2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ -3 & 3\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix}=6-6=0, \quad \det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ -3 & -2\end{pmatrix}=-4+6=2, \quad \det\begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ -3 & 3\end{pmatrix}=6-9=-3.
Logo
\det(A)= -1\cdot0 +2\cdot2 +1\cdot(-3)=4-3=1.

Passo 4

Agora calculamos a matriz de cofatores C, onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor correspondente. Encontramos
C = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -3\\\\ -1 & 5 & 9\\\\ -1 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^T =\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\\\ -2 & 5 & 4\\\\ -3 & 9 & 7 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\\\ -2 & 5 & 4\\\\ -3 & 9 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 6

O elemento b_{12} de B=A^{-1} (primeira linha, segunda coluna) é -1.

Resposta

(C) -1

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