Q2: Sejam \beta=\{-2-6 x, \quad 2+9 x\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 1 e p(x)=-10-42 x. Denotando por [p]_{\beta}=(a, b) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de b.
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a base \beta = \{-2-6x,\;2+9x\} do espaço \mathcal P_1 e o polinômio p(x) = -10 - 42x. Queremos encontrar as coordenadas [p]_{\beta} = (a,b) tais que
p(x) = a(-2 - 6x) + b(2 + 9x),
e, em particular, o valor de b.

Passo 2

Escrevendo a igualdade
-10 - 42x = a(-2 - 6x) + b(2 + 9x),
podemos comparar coeficientes de termos constantes e de x.

Passo 3

Comparando coeficientes, obtemos o sistema
-2a + 2b = -10,
-6a + 9b = -42.

Passo 4

Da primeira equação
-2a + 2b = -10
divide-se por 2 e fica
-a + b = -5 \quad\Longrightarrow\quad b = a - 5.
Substituindo na segunda
-6a + 9(a - 5) = -42 \quad\Longrightarrow\quad -6a + 9a - 45 = -42 \quad\Longrightarrow\quad 3a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = 1,
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b = 1 - 5 = -4.

Resposta

(D) -4

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