Q4: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}} \\\ & \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 4 x-2 y=-12\right\} \end{aligned}
Calcule o ponto ( x, y ) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x é:
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção das duas retas em \mathbb{R}^2. O conteúdo é interseção de reta definida por forma paramétrica e reta definida por equação cartesiana. Vamos usar: (i) escrever a primeira reta em parâmetro t e (ii) impor a equação da segunda reta para achar t, depois extrair x.

Passo 2

A primeira reta é
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} +t\,\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
ou seja
x = 2 + t, \quad y = 4 - t.

Passo 3

A segunda reta é dada por
4x - 2y = -12.
Substituindo x=2+t e y=4-t nesta equação, temos
4(2+t) - 2(4 - t) = -12.

Passo 4

Calculando,
4\cdot2 + 4t - 2\cdot4 + 2t = 8 + 4t - 8 + 2t = 6t,
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6t = -12 \quad\Longrightarrow\quad t = -2.
Substituindo em x = 2 + t, obtemos
x = 2 + (-2) = 0.

Resposta

(B) 0

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