O conjunto
com as operações de de soma e produto por escalar de
é um subespaço vetorial de
? Justifique e interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado define \r
\r
e pergunta se , munido das somas e produtos escalares herdados de
, é um subespaço vetorial. \r
Para ser subespaço, um conjunto deve satisfazer três propriedades principais: \r
e pergunta se
Para ser subespaço, um conjunto deve satisfazer três propriedades principais: \r
- conter o vetor nulo; \r
- ser fechado sob soma vetorial; \r
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor nulo
. \r
Como \r
Como \r
temos
. \r
Logo, já falha o requisito de conter o vetor nulo, o que impede ser subespaço.
Logo,
Passo 3
Para reforçar, podemos checar fechamento por multiplicação escalar. \r
Tome . Para
temos \r
Tome
e\r
logo
. \r
Isso mostra falta de fechamento por escalar.
Isso mostra falta de fechamento por escalar.
Passo 4
Geometricamente,
é a circunferência de raio 1 centrada na origem, um conjunto curvo que não contém o interior nem o ponto zero. Subespaços lineares em
são sempre retas que passam pela origem (ou todo o plano). Como
não é uma reta nem plano e não contém o zero, não pode ser um subespaço vetorial.
Resposta
Não,
não é subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor nulo e falha o fechamento por soma e produto escalar.