O conjunto S^1=v=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 com as operações de de soma e produto por escalar de R^2 é um subespaço vetorial de R^2 ? Justifique e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado define \r
;S^1=(x,y)in R^2mid x^2+y^2=1\r
e pergunta se S^1, munido das somas e produtos escalares herdados de R^2, é um subespaço vetorial. \r
Para ser subespaço, um conjunto deve satisfazer três propriedades principais: \r
  1. conter o vetor nulo; \r
  2. ser fechado sob soma vetorial; \r
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor nulo (0,0). \r
Como \r
(0)^2+(0)^2=0neq1,\r
temos (0,0)notin S^1. \r
Logo, S^1 já falha o requisito de conter o vetor nulo, o que impede ser subespaço.

Passo 3

Para reforçar, podemos checar fechamento por multiplicação escalar. \r
Tome v=(1,0)in S^1. Para lambda=2 temos \r
lambda v = 2,(1,0) = (2,0)\r
e\r
(2)^2+0^2=4neq1,\r
logo lambda vnotin S^1. \r
Isso mostra falta de fechamento por escalar.

Passo 4

Geometricamente, S^1 é a circunferência de raio 1 centrada na origem, um conjunto curvo que não contém o interior nem o ponto zero. Subespaços lineares em R^2 são sempre retas que passam pela origem (ou todo o plano). Como S^1 não é uma reta nem plano e não contém o zero, não pode ser um subespaço vetorial.

Resposta

Não, S^1 não é subespaço vetorial de R^2, pois não contém o vetor nulo e falha o fechamento por soma e produto escalar.

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