Em R^2 determine condições sobre as coordenadas de u e v para se ter a seguinte igualdade |u|^2+|v|^2= |u-v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em R^2, condições nas coordenadas de u e v tais que
|u|^2 + |v|^2 = |u-v|^2
Aqui vamos usar a definição de norma em termos de coordenadas e a expansão do quadrado da diferença de vetores.

Passo 2

Seja
u=(u1,u2) e v=(v1,v2). Então
|u|^2 = u1^2+u2^2, |v|^2 = v1^2+v2^2,
e
|u-v|^2 = (u1-v1)^2 + (u2-v2)^2 = u1^2 + u2^2 + v1^2 + v2^2 - 2(u1v1 + u2v2)

Passo 3

Substituindo na igualdade desejada:
(u1^2+u2^2) + (v1^2+v2^2) ;=; u1^2 + u2^2 + v1^2 + v2^2 - 2(u1v1 + u2v2)
Cancelando os termos u1^2+u2^2+v1^2+v2^2 em ambos os lados, sobra
0 = -2,(u1v1 + u2v2),
ou seja
u1v1 + u2v2 = 0
Isso significa que o produto escalar ucdotv=0.

Resposta

A condição é
u1v1 + u2v2 = 0,
isto é, u e v devem ser ortogonais.

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