Esboce a curva e determine a equação cartesiana
de<a(t)=(cos (2 t), sen t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
de<a(t) = (cos(2t),,sen t), tin[0,2pi],
e pede o esboço no plano xy e a equação cartesiana. Vamos usar eliminação de parâmetro e identidades trigonométricas.

Passo 2

Chamando
x = cos(2t), y = sen t,
lembremos da identidade
cos(2t) = 1 - 2sen^2 t
Como sen t = y, substituímos em x:
x = 1 - 2y^2

Passo 3

A equação
x = 1 - 2y^2
é uma parábola com vértice em (1,0) e eixo paralelo ao eixo x, abrindo para a esquerda.

Passo 4

Como y = sen t varia em [-1,1], a curva é o ramo dessa parábola para
-1 <= y <= 1,
isto é, o segmento que vai de (-1,1) a (-1,-1) passando pelo vértice (1,0). Para esboçar, marcamos os pontos
(1,0),;(-1,1),;(-1,-1)
e desenhamos o arco parabólico simétrico em relação ao eixo x.

Resposta

Equação cartesiana:
x = 1 - 2y^2, -1 <= y <= 1
Esboço: é o segmento da parábola com vértice em (1,0) e extremidades em (-1,1) e (-1,-1).

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