Esboce a curva e determine a equação cartesiana
zeta(t)=(cos t, sen t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
zeta(t)=(cos t,;sent) para tin[0,2pi], e pede dois itens:
– Esboçar a curva no plano cartesiano.
– Encontrar a sua equação cartesiana.
O conteúdo principal é conversão de representação paramétrica para equação cartesiana e reconhecimento de curvas trigonométricas.

Passo 2

Identificamos as componentes paramétricas:
x(t)=cos t, y(t)=sent
Para obter a relação cartesiana, usamos a identidade trigonométrica
cos^2 t + sen^2 t = 1. Então, somando os quadrados de x(t) e y(t), obtemos
x^2 + y^2 = cos^2 t + sen^2 t = 1

Passo 3

Como t varia de 0 até 2pi, o ponto (x(t),y(t)) percorre toda a circunferência de raio 1 centrada na origem, começando em (1,0) e avançando no sentido anti-horário até retornar a (1,0).
O esboço da curva é portanto o círculo unitário (raio 1) centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Resposta

A equação cartesiana é
x^2 + y^2 = 1
O esboço corresponde ao círculo de raio 1 centrado na origem, traçado no sentido anti-horário a partir de (1,0).

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